Question

13．如圖，將△ABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，點C在x軸上，∠ABC=90°，∠ACB=45°，AB=BC，x軸平分∠ACB，AC交y軸于點E，BC交y軸于點G，AB交x軸于點H．
（1）求證：∠FAH=∠HCB；
（2）求證：AF=$\frac{1}{2}$CH．

Answer 1

分析 （1）先判斷△ABC為等腰直角三角形得到∠ABC=90°，根據(jù)根據(jù)對頂角相等和三角形內(nèi)角和定理可證明∠FAH=∠HCB；
（2）延長AF與CB，它們相交于點M，如圖，利用“ASA”可證明△ABM≌△CBH，則AM=CH，再利用等腰三角形的判定與性質(zhì)得到AF=$\frac{1}{2}$AM，于是有AF=$\frac{1}{2}$CH．

解答 證明：（1）∵ACB=45°，AB=BC，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴∠ABC=90°，
∵∠AFC=∠ABC=90°，∠1=∠2，
∴∠FAH=∠HCB；
（2）延長AF與CB，它們相交于點M，如圖，
在△ABM和△CBH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAB=∠HCB}\\{AB=CB}\\{∠ABM=∠CBH}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△CBH，
∴AM=CH，
∵x軸平分∠ACB，即CF平分∠ACM，
∵CF⊥AM，
∴AF=FM，即AF=$\frac{1}{2}$AM，
∴AF=$\frac{1}{2}$CH．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)建△ABM與△CBH全等．