Question

如圖．已知AB是⊙O的直徑．C是⊙O上一點，直線CE與AB的延長線相交于點E，AD⊥CE于點D，AD交⊙O于點F．AC平分∠DAE．
（1）求證：CE是⊙O的切線．
（2）若DC+DF=6．⊙O的直徑為10，求AF的長．

Answer 1

（1）證明：連接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAO，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAO，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥DE，
∴OC⊥DE，
∵OC為半徑，
CE是⊙O的切線；

（2）解：設(shè)DC=x．則DF=6-x，過O作OH⊥AD于H，
∵AD⊥DE，OC⊥DE，
∴∠OHD=∠D=∠OCD=90°，
∴四邊形OHDC是矩形，
∴DH=OC=5，F(xiàn)H=5-（6-x）=x-1，
∵OH⊥AF，
∴AH=FH=x-1，
在Rt△AOH中，AO²=AH²+HO²，
∴5²=（x-1）²+x²，
x=4，x=-3（不符合題意舍去），
∴AF=2FH=2（4-1）=6．
分析：（1）求出∠DAC=∠CAO，∠OCA=∠CAO，推出∠DAC=∠OCA，得出OC∥AD，求出OC⊥DE，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2））設(shè)DC=x．則DF=6-x，過O作OH⊥AD于H，得出四邊形OHDC是矩形，推出DH=OC=5，F(xiàn)H=x-1，求出AH=FH=x-1，在Rt△AOH中，根據(jù)勾股定理得出5²=（x-1）²+x²，求出x=4，代入AF=2FH求出即可．
點評：本題考查了垂徑定理，勾股定理，切線的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進行推理和計算的能力．