Question

如圖，二次函數的圖象與x軸相交于點A（-3，0）、B（-1，0），與y軸相交于點C（0，3），點P是該圖象上的動點；一次函數y=kx-4k（k≠0）的圖象過點P交x軸于點Q．
（1）求該二次函數的解析式；
（2）當點P的坐標為（-4，m）時，求證：∠OPC=∠AQC；
（3）點M，N分別在線段AQ、CQ上，點M以每秒3個單位長度的速度從點A向點Q運動，同時，點N以每秒1個單位長度的速度從點C向點Q運動，當點M，N中有一點到達Q點時，兩點同時停止運動，設運動時間為t秒．連接AN，當△AMN的面積最大時，
①求t的值；
②直線PQ能否垂直平分線段MN？若能，請求出此時點P的坐標；若不能，請說明你的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用交點式求出拋物線的解析式；
（2）證明四邊形POQC是平行四邊形，則結論得證；
（3）①求出△AMN面積的表達式，利用二次函數的性質，求出△AMN面積最大時t的值．注意：由于自變量取值范圍的限制，二次函數并不是在對稱軸處取得最大值；
②由于直線PQ上的點到∠AQC兩邊的距離不相等，則直線PQ不能平分∠AQC，所以直線PQ不能垂直平分線段MN．
解答：（1）解：設拋物線的解析式為：y=a（x+3）（x+1），
∵拋物線經過點C（0，3），
∴3=a×3×1，解得a=1．
∴拋物線的解析式為：y=（x+3）（x+1）=x²+4x+3．

（2）證明：在拋物線解析式y(tǒng)=x²+4x+3中，當x=-4時，y=3，∴P（-4，3）．
∵P（-4，3），C（0，3），
∴PC=4，PC∥x軸．
∵一次函數y=kx-4k（k≠0）的圖象交x軸于點Q，當y=0時，x=4，
∴Q（4，0），OQ=4．
∴PC=OQ，又∵PC∥x軸，
∴四邊形POQC是平行四邊形，
∴∠OPC=∠AQC．

（3）解：①在Rt△COQ中，OC=3，OQ=4，由勾股定理得：CQ=5．
如答圖1所示，過點N作ND⊥x軸于點D，則ND∥OC，

∴△QND∽△QCO，
∴，即，解得：ND=3-t．
設S=S_△AMN，則：
S=AM•ND=•3t•（3-t）=-（t-）²+．
又∵AQ=7，∴點M到達終點的時間為t=，
∴S=-（t-）²+（0＜t≤）．
∵-＜0，＜，且x＜時，y隨x的增大而增大，
∴當t=時，△AMN的面積最大．
②假設直線PQ能夠垂直平分線段MN，則有QM=QN，且PQ⊥MN，PQ平分∠AQC．
由QM=QN，得：7-3t=5-t，解得t=1．
此時點M與點O重合，如答圖2所示：

設PQ與OC交于點E，由（2）可知，四邊形POQC是平行四邊形，
∴OE=CE．
∵點E到CQ的距離小于CE，
∴點E到CQ的距離小于OE，而OE⊥x軸，
∴PQ不是∠AQC的平分線，這與假設矛盾．
∴直線PQ不能垂直平分線段MN．
點評：本題是二次函數綜合題型，考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法、一次函數、相似三角形、平行四邊形、角平分線的性質、二次函數的最值等知識點．試題難度不大，需要注意的是（3）①問中，需要注意在自變量取值區(qū)間上求最大值，而不能機械地套用公式．