Question

如圖，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐標(biāo)系中，A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（3，0）和（0，3

3

）．動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)開(kāi)始沿折線AO-OB-BA運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在AO，OB，BA上運(yùn)動(dòng)，速度分別為1，

3

，2（長(zhǎng)度單位/秒）．一直尺的上邊緣l從x軸的位置開(kāi)始以

3

3

（長(zhǎng)度單位/秒）的速度向上平行移動(dòng)（即移動(dòng)過(guò)程中保持l∥x軸），且分別與OB，AB交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)﹒設(shè)動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)直線l同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)P沿折線AO-OB-BA運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，直線l和動(dòng)點(diǎn)P同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．
請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
（1）過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線解析式是

 

；
（2）當(dāng)t﹦4時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為

 

；當(dāng)t﹦

 

，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合；
（3）①作點(diǎn)P關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)P′．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若形成的四邊形PEP′F為菱形，則t的值是多少？
②當(dāng)t﹦2時(shí)，是否存在著點(diǎn)Q，使得△FEQ∽△BEP？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)；
（2）此題要掌握點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線，要掌握點(diǎn)P在不同階段的運(yùn)動(dòng)速度，即可求得；
（3）①此題需要分三種情況分析：點(diǎn)P在線段OA上，在線段OB上，在線段AB上；根據(jù)菱形的判定可知：在線段EF的垂直平分線上與x軸的交點(diǎn)，可求的一個(gè)；當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上時(shí)，形成的是三角形，不存在菱形；當(dāng)點(diǎn)P在線段BA上時(shí)，根據(jù)對(duì)角線互相平分且互相垂直的四邊形是菱形求得．
②當(dāng)t﹦2時(shí)，可求的點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可確定△BEP，根據(jù)相似三角形的判定定理即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，解題時(shí)要注意答案的不唯一性．

解答：解：（1）y=-

3

x+3

3

；（4分）

（2）（0，

3

），t=

9

2

；（4分）（各2分）

（3）①當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上時(shí)，過(guò)F作FG⊥x軸，G為垂足（如圖1）
∵OE=FG，EP=FP，∠EOP=∠FGP=90°
∴△EOP≌△FGP，∴OP=PG﹒
又∵OE=FG=

3

3

t，∠A=60°，∴AG=

FG

tan60°

=

1

3

t
而AP=t，
∴OP=3-t，PG=AP-AG=

2

3

t
由3-t=

2

3

t得t=

9

5

；（1分）
當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上時(shí)，形成的是三角形，不存在菱形；
當(dāng)點(diǎn)P在線段BA上時(shí)，
過(guò)P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分別為垂足（如圖2）
∵OE=

3

3

t，∴BE=3

3

-

3

3

t，∴EF=

BE

tan60°

=3-

t

3

∴MP=EH=

1

2

EF=

9-t

6

，又∵BP=2（t-6）
在Rt△BMP中，BP•cos60°=MP
即2（t-6）•

1

2

=

9-t

6

，解得t=

45

7

．（1分）
綜上所述，t為

9

5

或

45

7

時(shí)，四邊形PEP'F為菱形．

②存在﹒理由如下：
∵t=2，∴OE=

2

3

3

，AP=2，OP=1
將△BEP繞點(diǎn)E順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°，得到△B'EC（如圖3）
∵OB⊥EF，
∴點(diǎn)B'在直線EF上，
∵C點(diǎn)橫坐標(biāo)絕對(duì)值等于EO長(zhǎng)度，C點(diǎn)縱坐標(biāo)絕對(duì)值等于EO-PO長(zhǎng)度
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（-

2

3

3

，

2

3

3

-1）
過(guò)F作FQ∥B'C，交EC于點(diǎn)Q，
則△FEQ∽△B'EC
由

BE

FE

=

B′E

FE

=

CE

QE

=

3

，可得Q的坐標(biāo)為（-

2

3

，

3

3

）（1分）
根據(jù)對(duì)稱性可得，Q關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)Q'（-

2

3

，

3

）也符合條件．（1分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，還考查了菱形的性質(zhì)與判定以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，還要注意答案的不唯一性．