Question

同一平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系．
（1）如圖a，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB、CD外部，我們過點(diǎn)P作AB、CD的平行線PE，則有AB∥CD∥PE，故∠B=∠BPE，∠D=∠DPE，故∠BPE=∠BPD+∠DPE，得∠BPD=∠B-∠D．將點(diǎn)P移到AB、CD內(nèi)部，如圖b，以上結(jié)論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論；
（2）在圖b中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖c，利用（1）中的結(jié)論（可以直接套用）求∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？
（3）設(shè)BF交AC于點(diǎn)P，AE交DF于點(diǎn)Q．已知∠APB=130°，∠AQF=110°，利用（2）的結(jié)論直接寫出∠B+∠E+∠F的度數(shù)為

 

度，∠A比∠F大

 

度．

Answer 1

考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）依據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等，三角形外角的性質(zhì)即可求得．
（2）依據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等，三角形外角的性質(zhì)即可求得．
（3）依據(jù)（2）中的結(jié)論、三角形的內(nèi)角和及三角形的外角和即可求得．

解答：（1）∠BPD=∠B-∠D不成立，是∠BPD=∠B+∠D，
證明：如圖b，延長BP交DC于M，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠BMD，
∵∠BPD=∠BMD+∠D，
∴∠BPD=∠B+∠D；

（2）∠BPD=∠B+∠D+∠BQD；
∵A′B∥CD，
∴∠A′BQ=∠BQD，
證明同（1）．

（3）解∵∠AQF=110°，
∴∠EQF=∠B+∠E+∠F=180°-110°=70°，
∵∠1=∠APB-∠A=130°-∠A，∠2=180°-∠AQF-∠F=180°-110°-∠F=70°-∠F；
∵∠1=∠2，
∴130°-∠A=70°-∠F；
∴∠A-∠F=60°．

點(diǎn)評：本題考查了平行線性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和定理等知識點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力和猜想能力．