Question

二次函數(shù)y=

2

3

x²的圖象如圖所示，點(diǎn)A₀位于坐標(biāo)原點(diǎn)，A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₁₂在y軸的正半軸上，B₁，B₂，B₃，…B₂₀₁₂在函數(shù)y=

2

3

x²第一象限的圖象上，若△A₀B₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，△A₂₀₁₁B₂₀₁₂A₂₀₁₂都為等邊三角形，計(jì)算出△A₂₀₁₁B₂₀₁₂A₂₀₁₂的邊長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,等邊三角形的性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠A₁A₀B₁=60°，然后表示出A₀B₁的解析式，與二次函數(shù)解析式聯(lián)立求出點(diǎn)B₁的坐標(biāo)，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出A₀A₁，同理表示出A₁B₂的解析式，與二次函數(shù)解析式聯(lián)立求出點(diǎn)B₂的坐標(biāo)，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出A₁A₂，同理求出B₃的坐標(biāo)，然后求出A₂A₃，從而得到等邊三角形的邊長(zhǎng)為從1開始的連續(xù)自然數(shù)，與三角形所在的序數(shù)相等．

解答：解：∵△A₀B₁A₁是等邊三角形，
∴∠A₁A₀B₁=60°，
∴A₀B₁的解析式為y=

3

3

x，
聯(lián)立

y= 3 3 x y= 2 3 x2

，
解得

x1= 3 2 x2= 1 2

，

x2=0 y2=0

（為原點(diǎn)，舍去），
∴點(diǎn)B₁（

3

2

，

1

2

），
∴等邊△A₀B₁A₁的邊長(zhǎng)為

1

2

×2=1，
同理，A₁B₂的解析式為y=

3

3

x+1，
聯(lián)立

y= 3 3 x+1 y= 2 3 x2

，
解得

x1= 3 y1=2

，

x2= 3 2 y2= 1 2

（在第二象限，舍去），
∴B₂（

3

，2），
∴等邊△A₁B₂A₂的邊長(zhǎng)A₁A₂=2×（2-1）=2，
同理可求出B₃（

3 3

2

，

9

2

），
所以，等邊△A₂B₃A₃的邊長(zhǎng)A₂A₃=2×（

9

2

-1-2）=3，
…，
以此類推，系列等邊三角形的邊長(zhǎng)為從1開始的連續(xù)自然數(shù)，
△A₂₀₁₁B₂₀₁₂A₂₀₁₂的邊長(zhǎng)A₂₀₁₁A₂₀₁₂=2012．
故答案為：2012．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等邊三角形的性質(zhì)，主要利用了聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)B系列的坐標(biāo)求出等邊三角形的邊長(zhǎng)并且發(fā)現(xiàn)系列等邊三角形的邊長(zhǎng)為從1開始的連續(xù)自然數(shù)是解題的關(guān)鍵．