Question

法國數(shù)學家韋達最早發(fā)現(xiàn)一元n次方程中根與系數(shù)之間的關系，因此，人們把這個關系稱為韋達定理．初中階段我們了解的韋達定理為：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），若它的兩根為x1，x2，則x1+x2=-

b

a

，x1x2=

c

a

．請根據(jù)下面例題所提供的方法，結合韋達定理，完成下面的解答．
例題：已知：p²-p-1=0，1-q-q²=0，且pq≠1，求

pq+1

q

的值．
解：由p²-p-1=0，1-q-q²=0，可知p≠0，q≠0
又∵pq≠1
∴p≠

1

q

∴1-q-q²=0可變形為(

1

q

)2-(

1

q

)-1=0的特征，所以p與

1

q

是方程x²-x-1=0的兩個不相等的實數(shù)根由韋達定理得：p+

1

q

=1∴

pq+1

q

=1
（1）若

1

p2

-

1

p

-1=0，

1

q2

-

1

q

-1=0，且p≠q，求

1

p

+

1

q

的值．
（2）2m²-5m-1=0，

1

n2

+

5

n

-2=0，且m≠n．求

1

m

+

1

n

的值．

Answer 1

考點：根與系數(shù)的關系

專題：

分析：（1）根據(jù)題意知

1

p

、

1

q

是關于x的方程x²-x-1=0的兩個根，根據(jù)根與系數(shù)的關系進行解答即可；
（2）根據(jù)題意知

1

m

、

1

n

是關于x的方程x²+5x-2=0的兩個根，根據(jù)根與系數(shù)的關系進行解答即可．

解答：解：（1）依題意得

1

p

、

1

q

是關于x的方程x²-x-1=0的兩個根，則

1

p

+

1

q

=1；

（2）依題意得

1

m

、

1

n

是關于x的方程x²+5x-2=0的兩個根，則

1

m

+

1

n

=-5．

點評：本題考查了根與系數(shù)的關系．根據(jù)閱讀材料得出關于x的方程的一般形式是解題的難點．