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14.如圖,在平面直角坐標系xOy中,二次函數(shù)y=13x2+bx+c的圖象與y軸交于點A,與雙曲線y=8x有一個公共點B,它的橫坐標為4,過點B作直線l∥x軸,與該二次函數(shù)圖象交于另一個點C,直線AC在y軸上的截距是-6.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)求直線AC的表達式;
(3)平面內(nèi)是否存在點D,使A、B、C、D為頂點的四邊形是等腰梯形?如果存在,求出點D坐標;如果不存在,說明理由.

分析 (1)先求得點A與點B的坐標,然后依據(jù)待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式;
(2)先求得拋物線的對稱軸為x=-1,依據(jù)點B與點C關于x=-1對稱,可求得點C的坐標,然后依據(jù)待定系數(shù)法可求得直線AC的解析式;
(3)①當CD∥AB時,AC=BC,故點D不存在;②如圖1所示:當AD∥BC時,AB<AC,過點A作BC平行線l,以C為圓心,AB為半徑作弧,交l與點D1點,依據(jù)點A與D1關于x=-1對稱可求得點D1的坐標;③如圖2所示:BD∥AC時,過點C作CM⊥x軸,過點A作AM⊥y軸,過點B作BF⊥AC,D2E⊥AC.先依據(jù)AAS證明△AMC≌△CBF,從而可求得AF=CE=4,于是得到D2B=2,然后再證明BHD2∽△AMC,從而可求得BH=65,HD2=85,于是可求得點D2的坐標.

解答 解:(1)∵將x=4代入y=8x得:y=2,
∴B(4,2).
∵點A在y軸上,且直線AC在y軸上的截距是-6,
∴A(0,-6).
∵將B(4,2)、A(0,-6)代入拋物線的解析式得:{c=6163+4b+c=2,解得:{b=23c=6
∴拋物線的解析式為y=13x2+23x-6.
(2)∵拋物線的對稱軸為x=-2a=2313×2=-1.
∴點B關于x=-1的對稱點C的坐標為(-6,2).
設直線AC的解析式為y=kx+b.
∵將點A(0,-6)、C(-6,2)代入得:{b=66k+b=2,解得:k=-43,b=-6,
∴直線AC的解析式為y=43x-6.
(3)①∵B(4,2)C(-6,2),
∴BC=10.
∵A(0,-6)、C(-6,2),
∴AC=62+82=10.
∴AC=BC.
∴當CD∥AB時,不存在點D使得四邊形A、B、C、D為頂點的四邊形是等腰梯形.
②如圖1所示:

當AD∥BC時,AB<AC,過點A作BC平行線l,以C為圓心,AB為半徑作弧,交l與點D1點,A與D1關于x=-1對稱,
∴D1(-2,-6).
③如圖2所示:BD∥AC時,過點C作CM⊥x軸,過點A作AM⊥y軸,過點B作BF⊥AC,D2E⊥AC.

∵CB∥AM,
∴∠BCA=∠CAM.
在△AMC和△CBF中,
\left\{\begin{array}{l}{∠BCA=∠CAM}\\{∠AMC=∠BFC=90°}\\{AC=BC}\end{array}\right.,
∴△AMC≌△CBF.
∴CF=AM=6.
∴AF=4.
∵梯形ABD2C是等腰梯形,
∴CE=AF=4.
∴D2B=EF=2.
∵BD2∥AC,
∴∠D2BH=∠BCA.
∵∠BCA=∠CAM,
∴∠D2BH=∠CAM.
又∵∠M=∠D2HB,
∴BHD2∽△AMC.
\frac{{D}_{2}H}{HB}=\frac{4}{3}
∵BD2=2,
∴BH=\frac{6}{5},HD2=\frac{8}{5}
∴D2\frac{14}{5},\frac{18}{5}).
綜上所述,點D的坐標為(-2,-6)或D2\frac{14}{5}\frac{18}{5}).

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用,解答本題主要應用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、全等三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定、等腰梯形的性質(zhì),求得BD2=2是解題的關鍵.

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