Question

（2005•遵義）如圖，點(diǎn)P在x正半軸上，以P為圓心的⊙P與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C、D兩點(diǎn)，⊙P的半徑是4，CD=4

3

．
（1）過(guò)點(diǎn)C作⊙P的切線交x軸于點(diǎn)E，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）若

S△CBO

S△PCO

=n，求滿足下列二個(gè)條件的拋物線的解析式：
①過(guò)點(diǎn)P、E；
②拋物線的頂點(diǎn)到x軸的距離為n．

Answer 1

分析：（1）連接PC，在在直角△OPC中利用勾股定理即可求得OP的長(zhǎng)，得到P的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得直線PC的解析式，然后根據(jù)EC與PC垂直，即可得到直線EC的一次項(xiàng)系數(shù)，然后利用待定系數(shù)法求得直線EC的解析式，令y=0求得E的坐標(biāo)；
（2）分別求得△CBO和△PCO的面積，即可求得n的值，從而求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式．

解答：解：（1）連接PC，在在直角△OPC中，PC=4，OC=

1

2

CD=2

3

，
則OP=

PC2-OC2

=

16-12

=2，
則P的坐標(biāo)是（2，0），C的坐標(biāo)是：（0，2

3

），
設(shè)直線PC的解析式是：y=kx+b，
則

b=2 3 2k+b=0

，
解得：

b=2 3 k=- 3

，
則直線EC的一次項(xiàng)系數(shù)是：

3

3

，
設(shè)直線EC的解析式是：y=

3

3

x+c，把C（0，2

3

）代入，得：c=2

3

，
則EC的解析式是：y=

3

3

x+2

3

，
令y=0，解得：x=-6，
則E的坐標(biāo)是：（-6，0）；

（2）OP=2，則OB=2+4=6，
則S_△CBO=

1

2

OB•OC=

1

2

×6×2

3

=6

3

，
S_△PCO=

1

2

OP•OC=

1

2

×2×2

3

=2

3

，
則n=

6 3

2 3

=3，
∵P的坐標(biāo)是（2，0），E的坐標(biāo)是（-6，0），
∴頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-1，
當(dāng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1，2）時(shí)，設(shè)函數(shù)的解析式是：y=a（x+1）²+2，把（2，0）代入，得：9a+2=2，解得：a=0（不合題意，舍去），
當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-1，-2）時(shí)，設(shè)函數(shù)的解析式是：y=a（x+1）²-2，把（2，0）代入解析式得：9a-2=2，
解得：a=

4

9

，
則函數(shù)的解析式是：y=

4

9

（x+1）²-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及直線互相垂直的條件的綜合應(yīng)用，正確求得E的坐標(biāo)是關(guān)鍵．