Question

如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，CD⊥AB于點(diǎn)E，
（1）求證：△ACE∽△CBE；
（2）若AB=8，設(shè)OE=x（0＜x＜4），CE²=y，請求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（3）探究：當(dāng)x為何值時(shí)，tan∠D=．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證兩三角形相似，就要找出兩組相等的對應(yīng)角．已知了一組直角，而∠CAE和∠ECB都是∠ACE的余角，因此這兩個(gè)角就相等，由此可證得兩三角形相似；
（2）在直角△ACB中，根據(jù)射影定理，可得出CE²=AE•BE，其中CE²=y，AE=4+x，BE=4-x，由此可得出關(guān)于x，y的函數(shù)關(guān)系式．
（3）已知了∠D的正切值，也就知道了∠A的正切值，也就是CE，AE的比例關(guān)系式，（2）中已得出了CE²，AE的表達(dá)式，那么可根據(jù)CE，AE的比例關(guān)系求出x的值．
解答：（1）證明：∵AB為⊙O直徑，
∴∠ACB=90°，即∠ACE+∠BCE=90°．
又CD⊥AB，∴∠A+∠ACE=90°，
∴∠A=∠ECB，
∴Rt△ACE∽Rt△CBE；

（2）解：∵△ACE∽△CBE，
∴，
即CE²=AE•BE=（AO+OE）（OB-OE），
∴y=（4+x）（4-x）=16-x²；

（3）解：∵tan∠D=，即tan∠A=，
∴=．
則=，
即=．
解得x=2或x=-4（舍去）．
故當(dāng)x=2時(shí)，tan∠D=．
點(diǎn)評：本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)．