Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是BC邊上一動點（不與B、C重合）．連接AE，過點E作EF⊥AE，交DC于點F．
（1）求證：△ABE∽△ECF；
（2）連接AF，試探究當點E在BC什么位置時，∠BAE=∠EAF，請證明你的結論．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAE+∠BEA=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∴∠BEA+∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴△ABE∽△ECF；
（2）E是中點時，∠BAE=∠EAF，
理由如下：
連接AF，延長AE于DC的延長線相交于點H，
∵E為BC中點，
∴BE=CE，
∵AB∥DH，
∴∠B=∠ECH，
∵∠AEB=∠CEH，
∴△ABE≌△HCE，
∴AE=EH，
∵EF⊥AH，
∴△AFH是等腰三角形，
∴∠EAF=∠H，
∵AB∥DH，
∴∠H=∠BAE，
∴∠BAE=∠EAF，
∴當點E在BC中點位置時，∠BAE=∠EAF．
分析：（1）有正方形的性質和已知條件證明∠BAE=∠FEC即可證明：△ABE∽△ECF；
（2）連接AF，延長AE于DC的延長線相交于點H，當點E在BC中點位置時，通過證明三角形全等和等腰三角形的性質以及平行線的性質即可證明∠BAE=∠EAF．
點評：本題考查了正方形的性質、相似三角形的判斷和性質以及等腰三角形的判斷和性質的綜合運用，解答本題的關鍵是熟練掌握正方形的性質和相似三角形的各種判斷方法，此題難度不大．