Question

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A（0，6），B（2

3

，0），且∠OBA=60°，將△OAB沿直線AB翻折，得到△CAB，點(diǎn)O與點(diǎn)C對(duì)應(yīng)．
（1）動(dòng)點(diǎn)F從O出發(fā)，以2個(gè)單位/每秒速度沿折線O-A-C向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)△FOB的面積為S（S≠0），點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在（1）的條件下，過(guò)點(diǎn)B作x軸垂線，交AC于點(diǎn)E，在點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)，△BEF是以BE為腰的等腰三角形？

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：由題意畫出圖形，求出OA，OB，AB的長(zhǎng)，
（1）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)F在OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△OBF是等腰直角三角形，利用直角三角形面積公式求解；
②當(dāng)點(diǎn)F在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則AF=2t-6，即可求得F的縱坐標(biāo)，利用三角形的面積公式求得函數(shù)解析式；
（2）易證△OAC是等邊三角形，求得BE的長(zhǎng)，當(dāng)點(diǎn)F在OA上運(yùn)動(dòng)，然后又分當(dāng)BF=BE和EF=BE兩種情況．

解答：解：（1）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)F在OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，OF=2t，則S=

1

2

OB•OF=

1

2

×2

3

×2t=2

3

t；
②當(dāng)點(diǎn)F在OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，根據(jù)題意得：

b=6 2 3 k+b=0

，
解得：

b=6 k=- 3

，
則直線AB的解析式是：y=-

3

x+6．
則OC的解析式是y=

3

3

x，則

y=- 3 x+6 y= 3 3 x

，
解得：

x= 3 3 2 y= 3 2

，
則G的坐標(biāo)是（

3 3

2

，

3

2

），
則C的坐標(biāo)是（3

3

，3）．
設(shè)直線AC的解析式是y=mx+n，
根據(jù)題意得：

n=6 3 3 m+n=3

，
解得：

n=6 m=- 3 3

，
則AC的解析式是：y=-

3

3

x+6．
設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間是t，則AF=2t-6，則F的縱坐標(biāo)是：6-

1

2

（2t-6）=9-t，
則S=

1

2

×2

3

•（9-t）=-

3

t+9

3

；
（2）△AOC是等邊三角形，過(guò)C作CH⊥OA于點(diǎn)H．
則OH=AH=3．
在直線AC的解析式中，令x=2

3

，解得：y=4，
則E的坐標(biāo)是（2

3

，4），BE=4．
當(dāng)F在OA上時(shí)，若BF=4，則連接BF．
在直角△OBF中，OF=

42-(2 3 )2

=2，
則F的坐標(biāo)是（0，2）；
AE=

(6-3)2+(2 3 )2

=4=BE．
則當(dāng)F在A點(diǎn)時(shí)，滿足條件．
當(dāng)F在OA上，且EF=BE=4時(shí)，MF=

42-(2 3 )2

=2，
則F的坐標(biāo)是（0，6）或（0，2）．
故F的坐標(biāo)是（0，2）或（0，6）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及圖形的折疊，正確進(jìn)行討論是關(guān)鍵．