【題目】(1)如圖1,△ABC與△ADE均是頂角為40°的等腰三角形,BC、DE分別是底邊,求證:BD=CE;
(2)如圖2,△ACB和△DCE均為等邊三角形,點A、D、E在同一直線上,連接BE.
填空:∠AEB的度數(shù)為 ;線段BE與AD之間的數(shù)量關系是 .
(3)拓展探究
如圖3,△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,點A、D、E在同一直線上,CM為△DCE中DE邊上的高,連接BE.請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關系,并說明理由.
【答案】(1)詳見解析;(2)∠AEB的度數(shù)為60°;線段BE與AD之間的數(shù)量關系是:BE=AD;(3)詳見解析.
【解析】試題分析:
(1) 根據(jù)已知條件可知,要想證明BD=CE,可以證明△BAD與△CAE全等. 根據(jù)已知條件中關于等腰三角形的敘述,可以得到AB=AC,AD=AE. 由于這兩個等腰三角形的頂角均為40°,所以這兩個頂角分別減去∠DAC也一定相等. 綜合上述條件,利用SAS可以證明△BAD與△CAE全等,進而證明BD=CE.
(2) 根據(jù)已知條件不難利用SAS證明△ACD和△BCE全等. 利用全等三角形的相關性質(zhì),可以得到AD=BE,即線段BE與AD之間的數(shù)量關系是BE=AD. 同理,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知∠ADC=∠BEC. 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和鄰補角的相關結論可知,∠BEC=∠ADC=120°. 利用等邊三角形的性質(zhì)即可求得∠AEB的度數(shù).
(3) 通過兩個直角與∠DCB的和差關系可以得到∠ACD=∠BCE,再結合等腰直角三角形的性質(zhì),不難利用SAS證明△ACD和△BCE全等. 利用全等三角形的性質(zhì)可以得到AD=BE. 根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),可以得到CM=DM=EM. 綜上所述,AE=AD+DE=BE+2CM.
試題解析:
(1) 證明:∵∠BAC=∠DAE=40°,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.
∵△ABC與△ADE分別是以BC與DE為底邊的等腰三角形,
∴AB=AC,AD=AE.
∵在△BAD和△CAE中,
,
∴△BAD≌△CAE (SAS),
∴BD=CE.
(2) 本小題應依次填寫:60°;BE=AD. 理由如下.
∵△ACB和△DCE均為等邊三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°.
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB,即∠ACD=∠BCE.
∵在△ACD和△BCE中,
,
∴△ACD≌△BCE (SAS),
∴AD=BE,∠ADC=∠BEC.
∵△DCE為等邊三角形,
∴∠CDE=∠CED=60°,
∵點A,D,E在同一直線上,
∴∠ADC=180°-∠CDE=180°-60°=120°,
∴∠BEC=∠ADC=120°,
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°.
綜上所述,∠AEB的度數(shù)為60°;線段BE與AD之間的數(shù)量關系是:BE=AD.
(3) ∠AEB的度數(shù)為90°;線段CM,AE,BE之間的數(shù)量關系是:AE=BE+2CM. 理由如下.
∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形且∠ACB=∠DCE=90°,
∴AC=BC,CD=CE,∠CDE=∠CED=45°.
∵∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB,即∠ACD=∠BCE.
∵在△ACD和△BCE中,
,
∴△ACD≌△BCE (SAS),
∴AD=BE,∠ADC=∠BEC,
∵∠CDE=45°,
又∵點A,D,E在同一直線上,
∴∠ADC=180°-∠CDE=180°-45°=135°,
∴∠BEC=∠ADC=135°.
∵∠BEC=135°,∠CED=45°,
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°.
∵CM為△DCE中DE邊上的高,即CM⊥DE,
∴在等腰直角三角形DCE中,DM=EM.
∵CM⊥DE,∠CDE=45°,
∴△CMD是等腰直角三角形,
∴CM=DM.
∴CM=DM=EM.
∵DE=DM+EM=2CM,
又∵AD=BE,
∴AE=AD+DE=BE+2CM.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖是二次函數(shù):y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象,下列說法錯誤的是( )
A. 函數(shù)y的最大值是4 B. 函效的圖象關于直線x=﹣1對稱
C. 當x<﹣1時,y隨x的增大而增大 D. 當﹣4<x<1時,函數(shù)值y>0
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,宏達蔬菜基地內(nèi)有一塊長為216m,寬為108m的長方形土地,三條寬均為xm的田間小路把它分成面積相等的六塊,分別種植西紅柿、黃瓜、辣椒、蕓豆、韭菜、茄子.
(1)求每塊種植蔬菜的長方形的面積.(用含x的多項式表示)
(2)當x=1.6m時,求每塊種植蔬菜的長方形的面積.(精確到0.01m2)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】小明將前年春節(jié)所得的壓歲錢買了一個某銀行的兩年期的理財產(chǎn)品,該理財產(chǎn)品的年回報率為4.5%,銀行告知小明今年春節(jié)他將得到利息288元,則小明前年春節(jié)的壓歲錢為( )
A.6400元
B.3200元
C.2560元
D.1600元
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【題目】如果點P(﹣3,b)在第三象限內(nèi),則b( 。
A. 是正數(shù) B. 是負數(shù)
C. 是0 D. 可以是正數(shù),也可以是負數(shù)
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【題目】如圖1,△ABC的邊BC在直線l上,AC⊥BC,且AC=BC;△EFP的邊FP也在直線l上,邊EF與邊AC重合,且EF=FP.
(1)示例:在圖1中,通過觀察、測量,猜想并寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關系和位置關系.
答:AB與AP的數(shù)量關系和位置關系分別是 、 .
(2)將△EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時,EP交AC于點Q,連結AP,BQ.請你觀察、測量,猜想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關系和位置關系.答:BQ與AP的數(shù)量關系和位置關系分別是 、 .
(3)將△EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時,EP的延長線交AC的延長線于點Q,連結AP、BQ.你認為(2)中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關系和位置關系還成立嗎?若成立,給出證明;若不成立,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2﹣4ax+1與x軸的正半軸交于點A和點B,與y軸交于點C,且OB=3OC,點P是第一象限內(nèi)的點,連接BC,△PBC是以BC為斜邊的等腰直角三角形.
(1)求這個拋物線的表達式;
(2)求點P的坐標;
(3)點Q在x軸上,若以Q、O、P為頂點的三角形與以點C、A、B為頂點的三角形相似,求點Q的坐標.
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