Question

【題目】如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，且DE∥AC，CE∥BD．

（1）求證：四邊形OCED是菱形；

（2）若∠BAC＝30°，AC＝8，求菱形OCED的面積．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）8．

【解析】

（1）根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形OCED是平行四邊形，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出OC＝OD，根據(jù)菱形的判定得出即可．

（2）解直角三角形求出BC＝4，AB＝DC＝4，連接OE，交CD于點(diǎn)F，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出F為CD中點(diǎn)，求出OF＝BC＝2，求出OE＝2OF＝4，求出菱形的面積即可．

解：（1）證明：∵CE∥OD，DE∥OC，

∴四邊形OCED是平行四邊形，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC＝BD，OC＝AC，OD＝BD，

∴OC＝OD，

∴四邊形OCED是菱形；

（2）在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝8，

∴BC＝4，

∴AB＝DC＝4，

連接OE，交CD于點(diǎn)F，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴F為CD中點(diǎn)，

∵O為BD中點(diǎn)，

∴OF＝BC＝2，

∴OE＝2OF＝4，

∴S菱形OCED＝×OE×CD＝×4×4＝8．