Question

【題目】四邊形 ABCD 中，∠A＝∠B= 90°，點 E 在邊 AB 上，點 F 在 AD 的延長線上，且 點 E 與點 F 關于直線 CD 對稱，過點 E 作 EG∥AF 交 CD 于點 G，連接 FG，DE．

（1）求證：四邊形 DEGF 是菱形；

（2）若 AB＝10，AF＝BC=8，求四邊形 DEGF 的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）20.

【解析】

（1）連接EF，由對稱的性質可得DE＝DF，GE＝GF，求出∠EDG＝∠EGD，得到DE＝GE，進而得到DE＝DF＝GE＝GF即可；

（2）連接CF，CE，易證四邊形ABCF是矩形，可得CE＝CF＝AB＝10，利用勾股定理求出BE，得到AE的長，DF＝DE＝x，則AD＝8－x，在Rt△ADE中，利用勾股定理構建方程求出DF即可解決問題．

解：（1）連接EF，

∵點E與點F關于直線 CD 對稱，

∴CD是EF的垂直平分線，

∴DE＝DF，GE＝GF，∠EDG＝∠FDG，

∵EG∥AF，

∴∠FDG＝∠EGD，

∴∠EDG＝∠EGD，

∴DE＝GE，

∴DE＝DF＝GE＝GF，

∴四邊形DEGF是菱形；

（2）連接CF，CE，

∵∠A＝∠B＝90°，

∴∠A＋∠B＝180°，

∴AF∥BC，

又∵AF＝BC＝8，

∴四邊形ABCF是矩形，

∴CF＝AB＝10，

∵CD是EF的垂直平分線，

∴CE＝CF＝10，

∴BE＝，

∴AE＝10－6＝4，

設DF＝DE＝x，則AD＝8－x，

在Rt△ADE中，由勾股定理得：，

解得：x＝5，即DF＝5，

∴四邊形DEGF的面積＝DF·AE＝5×4＝20．