Question

19．如圖．在△ABC中，BD⊥AC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E，BD與CE交于點(diǎn)F，∠BCE=45°
（1）求證：BF=AC；
（2）延長(zhǎng)CE到G，使CG=AB，求證：點(diǎn)F、G關(guān)于直線AB對(duì)稱．

Answer 1

分析 （1）由垂直的定義得到∠BEC=∠BDC=90°，由∠BFE=∠CFD，得到∠ABD=∠ACE，推出△EBC都為等腰直角三角形，得到BE=CE，證得△BEF≌△CEA（ASA），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
（2）由CE⊥AB，得到∠AEG=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=EF，由于CG=AB，BE=CE，于是得到GE=AE，求得GE=EF，即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠BDC=90°，
∵∠BFE=∠CFD，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BCG=45°，
∴△EBC都為等腰直角三角形，
∴BE=CE，
在△BEF和△CEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEF=∠AEC}\\{BE=CE}\\{∠ABD=∠ACE}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△CEA（ASA），
∴BF=AC；

（2）∵CE⊥AB，
∴∠AEG=90°，
∵△BEF≌△CEA，
∴AE=EF，
又∵CG=AB，BE=CE，
∴GE=AE，
∴GE=EF，
又∵CE⊥AB，
∴F、G關(guān)于AB對(duì)稱．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．