Question

已知：如圖，在四邊形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線EF交BC于點D，交AB于點E，且CF=AE．
（1）求證：四邊形BECF是菱形；
（2）當(dāng)∠A的大小為多少度時，四邊形BECF是正方形？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)中垂線的性質(zhì)：中垂線上的點到線段兩個端點的距離相等，有BE=EC，BF=FC，根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形即可判斷；
（2）由菱形的性質(zhì)知，對角線平分一組對角，即當(dāng)∠ABC=45°時，∠EBF=90°，則菱形為正方形，根據(jù)直角三角形中兩個角銳角互余得，∠A=45度．
解答：解：（1）∵EF垂直平分BC，
∴CF=BF，BE=CE，∠BDE=90°，BD=CD，
又∵∠ACB=90°，
∴EF∥AC，
∴BE：AB=DB：BC，
∵D為BC中點，
∴DB：BC=1：2，
∴BE：AB=1：2，
∴E為AB中點，
即BE=AE，
∵CF=AE，
∴CF=BE，
∴CF=FB=BE=CE，
∴四邊形BECF是菱形．

（2）當(dāng)∠A=45°時，四邊形BECF是正方形．
證明：∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠CBA=45°，
∴∠EBF=2∠CBA=90°，
∴菱形BECF是正方形．
點評：此題主要考查了菱形的判定方法以及正方形的判定和中垂線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出∠CBA=45°是解題關(guān)鍵．