Question

已知：AB=AE，AB⊥AE，AC=AF，AC⊥AF．
（1）求證：EC=FB，EC⊥FB；
（2）求證：S_△ABC=S_△AEF．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）由已知兩垂直，得到一對直角相等，利用等式的性質(zhì)得到∠EAC=∠BAF，利用SAS得出三角形EAC與三角形BAF全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等得到，再由對頂角相等，利用內(nèi)角和定理得到∠EDB為直角，利用垂直的定義即可得證；
（2）作FM⊥EA，CN⊥AN，利用HL得到三角形AMF與三角形ACN全等，得到FM=CN，而EA=AB，利用三角形面積公式表示，即可得證．

解答：證明：（1）∵AB⊥AE，AC⊥AF，
∴∠EAB=∠CAF=90°，
∴∠EAB+∠BAC=∠CAF+∠CAB，即∠EAC=∠BAF，
在△EAC和△BAF中，

AE=AB ∠EAC=∠BAF AC=AF

，
∴△EAC≌△BAF（SAS），
∴EC=BF，∠AEB=∠ABF，
∴∠EDB=∠EAB=90°，
則EC⊥FB；

（2）作FM⊥EA，CN⊥AN，
∴∠ANC=∠AMF=90°，
∵∠MAN=∠CAF=90°，
∴∠MAN-∠MAC=∠CAF-∠MAC，即∠NAC=∠MAF，
在△ACN和△AFM中，

∠ANC=∠AMF=90° AN=AM ∠NAC=∠MAF

，
∴△ACN≌△AFM（ASA），
∴FM=CN，
∵AE=AB，
∴

1

2

AE•FM=

1

2

AB•CN，
∴S_△ABC=S_△AEF．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．