Question

如圖，正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點A（3，3），把直線OA向下平移后，與反比例函數(shù)的圖象交于點B（6，m），與x軸、y軸分別交于C、D兩點．
（1）求m的值；
（2）求過A、B、D三點的拋物線的解析式；
（3）若點E是拋物線上的一個動點，是否存在點E，使四邊形OECD的面積S₁，是四邊形OACD面積S的

2

3

？若存在，求點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點A（3，3），由此可以確定函數(shù)的解析式，又把直線OA向下平移后，與反比例函數(shù)的圖象交于點B（6，m），把B的坐標代入反比例函數(shù)的解析式即可確定m的值；
（2）由于直線OA向下平移后，與反比例函數(shù)的圖象交于點B（6，m），與x軸、y軸分別交于C、D兩點，由此首先確定直線BD的解析式，接著可以確定C，D的坐標，最后利用待定系數(shù)法即可確定過A、B、D三點的拋物線的解析式；
（3）如圖，利用（1）（2）知道四邊形OACD是梯形，利用已知條件可以求出其面積，設(shè)E的橫坐標為x，那么利用x可以表示其縱坐標，也可以表示△OEC的面積，而△OCD的面積可以求出，所以根據(jù)四邊形OECD的面積S₁，是四邊形OACD面積S的

2

3

即可列出關(guān)于x的方程，利用方程即可解決問題．

解答：解：（1）∵反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點A（3，3），
∴經(jīng)過點A的反比例函數(shù)解析式為：y=

9 x

，
而直線OA向下平移后，與反比例函數(shù)的圖象交于點B（6，m），
∴m=

9

6

=

3

2

；

（2）∵直線OA向下平移后，與反比例函數(shù)的圖象交于點B（6，

3

2

），
與x軸、y軸分別交于C、D兩點，
而這些OA的解析式為y=x，
設(shè)直線CD的解析式為y=x+b，
代入B的坐標得：

3

2

=6+b，
∴b=-4.5，
∴直線OC的解析式為y=x-4.5，
∴C、D的坐標分別為（4.5，0），（0，-4.5），
設(shè)過A、B、D三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
分別把A、B、D的坐標代入其中得：

3=9a+3b+c 1.5=36a+6b+c -4.5=c

，
解之得：a=-0.5，b=4，c=-4.5
∴y=-0.5x²+4x-4.5；

（3）如圖，設(shè)E的橫坐標為x，
∴其縱坐標為-0.5x²+4x-4.5，
∴S₁=

1

2

（-0.5x²+4x-4.5+OD）×OC，
=

1

2

（-0.5x²+4x-4.5+4.5）×4.5，
=

1

2

（-0.5x²+4x）×4.5，
而S=

1

2

（3+OD）×OC=

1

2

（3+4.5）×4.5=

135

8

，
∴

1

2

（-0.5x²+4x）×4.5=

2

3

×

135

8

，
解之得x=4±

6

，
∴這樣的E點存在，坐標為（4-

6

，0.5），（4+

6

，0.5）．

點評：本題考查點的坐標的求法及利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式．此題也為數(shù)學(xué)建模題，借助一元二次方程解決探究問題．