Question

18．已知：如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC為矩形，A（10，0），C（0，4），點(diǎn)D是OA中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC上以每秒1個(gè)單位的速度由C向B運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）△ODP的面積S=10．
（2）t為何值時(shí)，四邊形PODB是平行四邊形？
（3）在線段PB上是否存在一點(diǎn)Q，使得ODQP為菱形？若存在，求t的值，并求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）若△OPD為等腰三角形，請(qǐng)寫出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)（請(qǐng)直接寫出答案，不必寫過(guò)程）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的面積公式即可求出△ODP的面積S；
（2）由于PB∥OD，根據(jù)平行四邊形的判定可知當(dāng)PB=OD=5時(shí)，四邊形PODB是平行四邊形，再求出PC=5，從而求出t的值；
（3）根據(jù)菱形的判定，當(dāng)OD=OP=PQ=5時(shí)，ODQP為菱形，在Rt△OPC中，利用勾股定理求出CP的值，進(jìn)而求出t的值及Q點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）當(dāng)△OPD為等腰三角形時(shí)，分三種情況進(jìn)行討論：①如果O為頂點(diǎn)，那么OP=OD=5；②如果P為頂點(diǎn)，那么PO=PD；③如果D為頂點(diǎn)，那么DP=DO=5．

解答 解：（1）∵O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（10，0），四邊形OABC為矩形，C（0，4），
∴OA=BC=10，OC=4，
∵點(diǎn)D是OA中點(diǎn)，
∴OD=DA=$\frac{1}{2}$OA=5，
∴△ODP的面積S=$\frac{1}{2}$OD•OC=$\frac{1}{2}$×5×4=10．
故答案為10；

（2）∵PB∥OD，
∴當(dāng)PB=OD時(shí)，四邊形PODB是平行四邊形，
∵OD=5，
∴PB=5，
∴PC=BC-PB=10-5=5，
∵點(diǎn)P在BC上以每秒1個(gè)單位的速度由C向B運(yùn)動(dòng)，
∴t=5；

（3）當(dāng)OD=OP=PQ=5時(shí)，ODQP為菱形，
在Rt△OPC中，由勾股定理得：
PC=$\sqrt{O{P}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴t=3，CQ=CP+PQ=3+5=8，
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，4）；

（4）△OPD為等腰三角形時(shí)，分三種情況：
①如果O為頂點(diǎn)，那么OP=OD=5，
由勾股定理可以求得PC=3，此時(shí)P₁（3，4）；
②如果P為頂點(diǎn)，那么PO=PD，
作PE⊥OA于E，則OE=ED=2.5，此時(shí)P₂（2.5，4）；
③如果D為頂點(diǎn)，那么DP=DO=5，
作DF⊥BC于F，由勾股定理，得PF=3，
∴P₃C=5-3=2或P₄C=5+3=8，此時(shí)P₃（2，4），P₄（8，4）．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為P₁（3，4），P₂（2.5，4），P₃（2，4），P₄（8，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定及性質(zhì)，菱形的判定及性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用．利用數(shù)形結(jié)合、分類討論是解題的關(guān)鍵．