Question

如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側分別作等邊△ABC和等邊△CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ．則下列結論：

①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP．

其中正確的是________．

Answer 1

①②③
分析：根據(jù)等邊三角形的三邊都相等，三個角都是60°，可以證明△ACD與△BCE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AD=BE，所以①正確，對應角相等可得∠CAD=∠CBE，然后證明△ACP與△BCQ全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得PC=PQ，從而得到△CPQ是等邊三角形，再根據(jù)等腰三角形的性質可以找出相等的角，從而證明PQ∥AE，所以②正確；根據(jù)全等三角形對應邊相等可以推出AP=BQ，所以③正確，根據(jù)③可推出DP=EQ，再根據(jù)△DEQ的角度關系DE≠DP．
解答：∵等邊△ABC和等邊△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴180°-∠ECD=180°-∠ACB，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD與△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，故①小題正確；
∵△ACD≌△BCE（已證），
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠ACB=∠ECD=60°（已證），
∴∠BCQ=180°-60°×2=60°，
∴∠ACB=∠BCQ=60°，
在△ACP與△BCQ中，，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴AP=BQ，故③小題正確；PC=QC，
∴△PCQ是等邊三角形，
∴∠CPQ=60°，
∴∠ACB=∠CPQ，
∴PQ∥AE，故②小題正確；
∵AD=BE，AP=BQ，
∴AD-AP=BE-BQ，
即DP=QE，
∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，
∴∠DQE≠∠CDE，故④小題錯誤．
綜上所述，正確的是①②③．
故答案為：①②③．
點評：本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，以及平行線的判定，需要多次證明三角形全等，綜合性質較強，但難度不是很大，是熱點題目，仔細分析圖形是解題的關鍵．