Question

10．如圖，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過點C的直線交AB的延長線于點D，AE⊥DC，垂足為E，F(xiàn)是AE與⊙O的交點，AC平分∠BAE．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AE=6，∠D=30°，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OC，先證明∠OAC=∠OCA，進而得到OC∥AE，于是得到OC⊥CD，進而證明DE是⊙O的切線；
（2）分別求出△OCD的面積和扇形OBC的面積，利用S_陰影=S_△COD-S_扇形OBC即可得到答案．

解答 （1）證明：連接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠BAE，
∴∠OAC=∠CAE，
∴∠OCA=∠CAE，
∴OC∥AE，
∴∠OCD=∠E，
∵AE⊥DE，
∴∠E=90°，
∴∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
∵點C在圓O上，OC為圓O的半徑，
∴CD是圓O的切線；

（2）解：在Rt△AED中，
∵∠D=30°，AE=6，
∴AD=2AE=12，
在Rt_△OCD中，∵∠D=30°，
∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，
∴DB=OB=OC=$\frac{1}{3}$AD=4，DO=8，
∴CD=$\sqrt{D{O}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴S_△OCD=$\frac{CD•OC}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}×4}{2}$=8$\sqrt{3}$，
∵∠D=30°，∠OCD=90°，
∴∠DOC=60°，
∴S_扇形OBC=$\frac{1}{6}$×π×OC²=$\frac{8}{3}π$，
∵S_陰影=S_△COD-S_扇形OBC
∴S_陰影=8$\sqrt{3}$-$\frac{8π}{3}$，
∴陰影部分的面積為8$\sqrt{3}$-$\frac{8π}{3}$．

點評 本題主要考查了切線的判定以及扇形的面積計算，解（1）的關(guān)鍵是證明OC⊥DE，解（2）的關(guān)鍵是求出扇形OBC的面積，此題難度一般．