Question

在△ABC中，AB=AC，D為BC邊中點，以點D為頂點作∠MDN=∠B．
（1）當射線DN經(jīng)過點A時，DM交AC邊于點E，如圖（1），不添加輔助線，直接寫出圖中所有與△ADE相似的三角形（不需要證明）；
（2）將∠MDN繞點D沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，DM、DN分別交線段AC、AB于點E、F（點E與點A不重合，如圖（2））
①求證：△BDF∽△CED；
②△BDF與△DEF是否相似？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定得出相似三角形即可；
（2）利用已知首先求出∠BFD=∠CDE，即可得出△BDF∽△CED，再利用相似三角形的性質(zhì)得出

BD

DF

，進而得出△BDF∽△CED∽△DEF．

解答：（1）答：與△ADE相似的三角形有△ABD、△ACD、△DCE．
證明：∵AB=AC，D為BC的中點，
∴AD⊥BC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，
又∵∠MDN=∠B，
∴△ADE∽△ABD，
同理可得：△ADE∽△ACD，
∵∠MDN=∠C=∠B，
∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠EDC=90°，
∠B=∠MDN，
∴∠BAD=∠EDC，
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴△ADE∽△DCE；
        
（2）①證明：∵∠BFD=180°-∠B-∠BDF，∠EDC=180°-∠EDF-∠BDF，
又∵∠B=∠EDF，
∴∠BFD=∠EDC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△BDF∽△CED；                   
②△BDF∽△DEF．                      
證明：∵△BDF∽△CED，
∴

FD

DE

=

BF

CD

，
∵BD=CD，
∴

FD

DE

=

BF

BD

，
∴

FD

BF

=

DE

BD

．
又∵∠EDF=∠B，
∴△BDF∽△DEF．

點評：此題主要考查了相似三角形判定與性質(zhì)以及三角形面積計算，熟練應用相似三角形的性質(zhì)與判定得出對應用邊與對應角的關系是解題關鍵．