Question

8．如圖，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）…P_n（x_n，y_n）（n是大于或等于2的正整數(shù)）在函數(shù)y=$\frac{1}{x}$（x＞0）的圖象上，△P₁OA₁，△P₂A₁A₂，△P₃A₂A₃，…△P_nA_n-1A_n都是等腰直角三角形，斜邊OA₁、A₁A₂、A₂A₃…A_n-1A_n都在x軸上，則點P₃的坐標(biāo)是（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$），點P₁₀的坐標(biāo)是（$\sqrt{10}$+3，$\sqrt{10}$-3）．

Answer 1

分析 過點P₁作P₁E⊥x軸于點E，過點P₂作P₂F⊥x軸于點F，過點P₃作P₃G⊥x軸于點G，根據(jù)△P₁OA₁，△P₂A₁A₂，△P₃A₂A₃都是等腰直角三角形，可求出P₁，P₂，P₃的坐標(biāo)，從而總結(jié)出一般規(guī)律得出點P_n的坐標(biāo)．

解答 解：過點P₁作P₁E⊥x軸于點E，過點P₂作P₂F⊥x軸于點F，過點P₃作P₃G⊥x軸于點G，
∵△P₁OA₁是等腰直角三角形，
∴P₁E=OE=A₁E=$\frac{1}{2}$OA₁，
設(shè)點P₁的坐標(biāo)為（a，a），（a＞0），
將點P₁（a，a）代入y=$\frac{1}{x}$，可得a=1，
故點P₁的坐標(biāo)為（1，1），
則OA₁=2，
設(shè)點P₂的坐標(biāo)為（b+2，b），將點P₂（b+2，b）代入y=$\frac{1}{x}$，可得b=$\sqrt{2}$-1，
故點P₂的坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$+1，$\sqrt{2}$-1），
則A₁F=A₂F=$\sqrt{2}$-1，OA₂=OA₁+A₁A₂=2$\sqrt{2}$，
設(shè)點P₃的坐標(biāo)為（c+2$\sqrt{2}$，c），將點P₃（c+2$\sqrt{2}$，c）代入y=$\frac{1}{x}$，可得c=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，
故點P₃的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$），
綜上可得：P₁的坐標(biāo)為（1，1），P₂的坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$+1，$\sqrt{2}$-1），P₃的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$），
總結(jié)規(guī)律可得：P_n坐標(biāo)為：（$\sqrt{n}$+$\sqrt{n-1}$，$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$）．
故點P₁₀的坐標(biāo)是（$\sqrt{10}$+3，$\sqrt{10}$-3）．
故答案為：（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）；（$\sqrt{10}$+3，$\sqrt{10}$-3）．

點評 本題考查了反比例函數(shù)的綜合，涉及了點的坐標(biāo)的規(guī)律變化，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合反比例函數(shù)解析式求出P₁，P₂，P₃的坐標(biāo)，從而總結(jié)出一般規(guī)律，難度較大．