Question

如圖，P、Q分別是正方形ABCD的邊AB、BC上的點，且BP=BQ，過B點作PC的垂線，垂足為H．

①圖中有       對相似三角形.

②若正方形的邊長為1，P為AB的三等分點，求△BHQ的面積.

③求證：DH⊥HQ．

 

Answer 1

①4   ………2分

 ②作,

∵正方形的邊長為1，P為AB的三等分點

∴

在Rt△PBC中，由勾股定理得

在Rt△BHC中，由勾股定理得

∴△BHQ的面積………8分

③證明：在Rt△PBC中，∵BH⊥PC，∴∠PBC=∠PHB=90°，

∴∠PBH=∠PCB．顯然，Rt△PBC∽Rt△BHC，

∴

由已知，BP=BQ，BC=DC，∴∴

∵∠ABC=∠BCD=90°，∠PBH=∠PCB，∴∠HBQ=∠HCD．

在△HBQ與△HCD中，∵,∠HBQ=∠HCD，

∴△HBQ∽△HCD，∴∠BHQ=∠DHC，

∠BHQ+∠QHC=∠DHC+∠QHC．

又∵∠BHQ+∠QHC=90°，

∴∠QHD=∠QHC+∠DHC=90°，

即DH⊥HQ．………14分