Question

已知：△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，BT為⊙O的切線(xiàn)，B為切點(diǎn)，P為直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作BC的平行線(xiàn)交直線(xiàn)BT于點(diǎn)E，交直線(xiàn)AC于點(diǎn)F。

（1）當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上時(shí)（如圖），求證：PA·PB=PE·PF； 　　
（2）當(dāng)點(diǎn)P為線(xiàn)段BA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)時(shí)，第（1）題中的結(jié)論還成立嗎？如果成立請(qǐng)給予證明，如果不成立請(qǐng)說(shuō)明理由；　
（3）若AB=4，sin∠EBA=，求⊙O的半徑。

Answer 1

解：（1）∵BT切⊙O于點(diǎn)B，　　
∴∠EBA=∠C，　　
∵EF∥BC，
∴∠AFP=∠C，　　
∴∠AFP=∠EBP 　　
又∠APF=∠BPE，
∴△PFA∽△PBE，　　
∴=，即PA·PB=PE·PF；
（2）當(dāng)P為BA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)時(shí)，（1）題的結(jié)論仍成立
∵BT切⊙O于點(diǎn)B，
∴∠EBA=∠C，　　
∵EP∥BC，
∴∠PFA=∠C，　　
∴∠EBA=∠PFC，
又∠EPB=∠APF，　　
∴△EPB∽△APF，
∴，　　
∴PA×PB=PE×PF。
（3）作直徑AH連結(jié)BH，則∠ABH=90°，　　
∵EB切⊙O于B點(diǎn)，
∴∠H=∠EBA
在Rt△ABH中，AB=4，sin∠H=sin∠EBA=
∴AH==6
∴⊙O的半徑為3。