Question

4．如圖，點(diǎn)E是∠AOB平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別是C，D．求證：
（1）△DEO≌△CEO；
（2）OE是線段CD的垂直平分線．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到ED=EC，根據(jù)直角三角形全等的判定定理證明即可；
（2）根據(jù)線段垂直平分線的判定定理證明．

解答 證明：（1）∵OE平分∠BOA，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴ED=EC，
∠EDC=∠ECO=90°，
在Rt△EDO和Rt△ECO中，$\left\{{\begin{array}{l}{EO=EO}\\{ED=EC}\end{array}}\right.$
∴Rt△EDO≌Rt△ECO；
（2）由（1）知，△EDO≌△ECO
∴ED=EC，OD=OC，
∴點(diǎn)E在CD的垂直平分線上，
點(diǎn)O在CD的垂直平分線上，
∴OE是線段CD的垂直平分線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的判定，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等、到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上是解題的關(guān)鍵．