Question

已知如圖，矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，E是邊AD上一點，且BE=ED，P是對角線上任意一點，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分別為F、G．則PF+PG的長為    cm．

Answer 1

【答案】分析：首先過點P作PM⊥BC于M，由矩形ABCD中，PG⊥AD，易證得G，P，M共線，且四邊形ABMG是矩形，可得GM=AB=3cm，又由BE=ED，易證得∠EBD=∠CBD，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得PF=PM，繼而可得PF+PG的長即為GM的長．
解答：解：過點P作PM⊥BC于M，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A=∠ABC=90°，
∴PM⊥AD，
∵PG⊥AD，
∴G，P，M共線，
∴∠GMC=90°，
∴四邊形ABMG是矩形，
∴GM=AB=3cm，
∵BE=ED，
∴∠EDB=∠EBD，
∵AD∥BC，
∴∠EDB=∠CBD，
∴∠EBD=∠CBD，
∵PF⊥BE，PM⊥BC，
∴PM=PF，
∴PF+PG=PM+PG=GM=3cm．
故答案為：3．
點評：此題考查了矩形的性質(zhì)、垂線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是準確作出輔助線，掌握數(shù)形結合思想的應用．