Question

如圖1．小明將一張直角梯形紙片沿虛線剪開(kāi)，得到矩形和三角形兩張紙片，測(cè)得AB=5，AD=4．在進(jìn)行如下操作時(shí)遇到了下面的幾個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫助解決．

（1）將△EFG的頂點(diǎn)G移到矩形的頂點(diǎn)B處，再將三角形繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使E點(diǎn)落在CD邊上，此時(shí)，EF恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（如圖2），請(qǐng)你求出AE和FG的長(zhǎng)度；
（2）在（1）的條件下，小明先將三角形的邊EG和矩形邊AB重合，然后將△EFG沿直線BC向右平移，至F點(diǎn)與B重合時(shí)停止．在平移過(guò)程中，設(shè)G點(diǎn)平移的距離為x，兩紙片重疊部分面積為y，求在平移的整個(gè)過(guò)程中，y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)重疊部分面積為10時(shí)，平移距離x的值（如圖3）．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何變換綜合題,勾股定理,平移的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),中心對(duì)稱圖形,相似三角形的性質(zhì),相似三角形的判定

專題：操作型

分析：（1）由題意易得CE=3，DE=2，AD=4，根據(jù)勾股定理即可求得AE的值，然后經(jīng)過(guò)證明△EFG∽△AED，求得FG的值；
（2）分兩種情況：①是x平移距離小于4時(shí)，②是x平移距離大于4時(shí)，分別求得解析式，把y=10分別代入兩式，求得x的值，注意驗(yàn)證是否符合題意．

解答：解：（1）∵AB=EG=DC=5，AD=BC=4，
∴CE=

BE2-BC2

=

52-42

=3，DE=CD-CE=5-3=2，
∴AE=

AD2+DE2

=

42+22

=2

5

；
∵AB=EG，
∴∠BAE=∠BEA，
又∵∠BAE+∠EAD=90°，∠AED+∠EAD=90°，
∴∠BAE=∠AED
在△EFG和△AED中，∠BAE=∠AED，∠FBE=∠ADE=90°，
∴△EFG∽△AED，
那么，

FG

EB

=

AD

DE

，
∴FG=

AD•EB

DE

=

4×5

2

=10；

（2）分兩種情況：
①是x平移距離小于4時(shí)，如圖3-1，EF與AB相交于P，過(guò)P作PQ⊥EG于Q點(diǎn)，
∵△EFG的直角邊FG=10，EG=5，
∴tanα=

EG

FG

=

5

10

=

1

2

，
∵∠FGE=90°，
∴PQ∥FC，四邊形PQGB是矩形，
∴∠EPQ=∠F，
根據(jù)這個(gè)正切值，可求出相應(yīng)的線段的數(shù)值，
得出，F(xiàn)B=FG-BG=10-x，BP=

FB

2

=

10-x

2

，PQ=x，EQ=

x

2

，
∴重疊部分y=PB•BG+

1

2

BG•EQ=

(10-x)x

2

+

1

2

x×

x

2

=-

1

4

x²+5x，
②是x平移距離大于4時(shí)，如圖3-2，EF與AB相交于P，與CD相交于R，
∴y=PB•BC+

1

2

PQ•RQ=

4(10-x)

2

+

1

2

×4×2=24-2x，
當(dāng)重疊部分面積為10時(shí)，即y=10分別代入兩等式，
-

1

4

x²+5x=10，
解得：x=10+2

15

（不合題意舍去）或x=10-2

15

，
y=24-2x=10得出，x=7，
∴當(dāng)0≤x≤4時(shí)，y=-

1

4

x²+5x，
當(dāng)4＜x≤10時(shí)，y=-2x+24，
∴當(dāng)y=10時(shí)，x=7或x=10-2

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題以動(dòng)態(tài)（平移和旋轉(zhuǎn)）的形式考查了分類討論的思想、函數(shù)的知識(shí)和直角三角形，具有很強(qiáng)的綜合性．