Question

【題目】將一個直角三角形紙片ABO放置在平面直角坐標系中，點A（，0），點B（0，1），點O（0，0）．P是邊AB上的一點（點P不與點A，B重合），沿著OP折疊該紙片，得點A的對應(yīng)點A'，當∠BPA'=30°時，點P的坐標為______．

Answer 1

【答案】（， ）或（， ）

【解析】分析:由點A和B的坐標得出OA=，OB=1，由折疊的性質(zhì)得：OA'=OA=，由勾股定理求出A'B=，即可得出點A'的坐標為（，1）；由勾股定理求出AB=2，證出OB=OP=BP，得出△BOP是等邊三角形，得出∠BOP=∠BPO=60°，求出∠OPA=120°，由折疊的性質(zhì)得：∠OPA'=∠OPA=120°，PA'=PA=1，證出OB∥PA'，得出四邊形OPA'B是平行四邊形，即可得出A'B=OP=1；分兩種情況：①點A'在y軸上，由SSS證明△OPA'≌△OPA，得出∠A'OP=∠AOP=∠AOB=45°，得出點P在∠AOB的平分線上，由待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y=-x+1，即可得出點P的坐標；②由折疊的性質(zhì)得：∠A'=∠A=30°，OA'=OA，作出四邊形OAPA'是菱形，得出PA=OA=，作PM⊥OA于M，由直角三角形的性質(zhì)求出PM=PA=，把y=代入y=-x+1求出點P的縱坐標即可．

詳解:∵點A（，0），點B（0，1），

∴OA=，OB=1，

由折疊的性質(zhì)得：OA'=OA=，

∵A'B⊥OB，

∴∠A'BO=90°，

在Rt△A'OB中，A'B==，

∴點A'的坐標為（，1）；

（2）在Rt△ABO中，OA=，OB=1，

∴AB==2，

∵P是AB的中點，

∴AP=BP=1，OP=AB=1，

∴OB=OP=BP

∴△BOP是等邊三角形，

∴∠BOP=∠BPO=60°，

∴∠OPA=180°-∠BPO=120°，

由折疊的性質(zhì)得：∠OPA'=∠OPA=120°，PA'=PA=1，

∴∠BOP+∠OPA'=180°，

∴OB∥PA'，

又∵OB=PA'=1，

∴四邊形OPA'B是平行四邊形，

∴A'B=OP=1

設(shè)P（x，y），分兩種情況：

①如圖③所示：點A'在y軸上，

在△OPA'和△OPA中，

，

∴△OPA'≌△OPA（SSS），

∴∠A'OP=∠AOP=∠AOB=45°，

∴點P在∠AOB的平分線上，

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，

把點A（，0）A（3，0），點B（0，1）代入得：

，

解得： ，

∴直線AB的解析式為y=-x+1，

∵P（x，y），

∴x=-x+1，

解得：x=，

∴P（， ）；

②如圖④所示：

由折疊的性質(zhì)得：∠A'=∠A=30°，OA'=OA，

∵∠BPA'=30°，

∴∠A'=∠A=∠BPA'，

∴OA'∥AP，PA'∥OA，

∴四邊形OAPA'是菱形，

∴PA=OA=，作PM⊥OA于M，如圖④所示：

∵∠A=30°，

∴PM=PA=，

把y=代入y=-x+1得： =-+1，

解得：x=，

∴P（， ）；

綜上所述：當∠BPA'=30°時，點P的坐標為（， ）或（， ）．

點睛:

本題是幾何變換綜合題目，考查了折疊的性質(zhì)、坐標與圖形性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求直線的解析式、菱形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強，難度較大．