Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+4與x軸交于A（-2，0）、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，其對稱軸為直線x=1．
（1）直接寫出拋物線的解析式：

 

；
（2）把線段AC沿x軸向右平移，設(shè)平移后A、C的對應(yīng)點(diǎn)分別為A′、C′，當(dāng)C′落在拋物線上時，求A′、C′的坐標(biāo)；
（3）除（2）中的點(diǎn)A′、C′外，在x軸和拋物線上是否還分別存在點(diǎn)E、F，使得以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出E、F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）先求得B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法交點(diǎn)拋物線的解析式；
（2）根據(jù)平移性質(zhì)及拋物線的對稱性，求出A′、C′的坐標(biāo)；
（3）以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，可能存在3種滿足條件的情形，需要分類討論，避免漏解．

解答：解：（1）∵A（-2，0），對稱軸為直線x=1．
∴B（4，0），
把A（-2，0），B（4，0）代入拋物線的表達(dá)式為：

4a-2b+4=0 16a+4b+4=0

，
解得：

a=- 1 2 b=1

，
∴拋物線的解析式為：y=-

1

2

x²+x+4；

（2）由拋物線y=-

1

2

x²+x+4可知C（0，4），
∵拋物線的對稱軸為直線x=1，根據(jù)對稱性，
∴C′（2，4），
∴A′（0，0）．

（3）存在．
設(shè)F（x，-

1

2

x²+x+4）．
以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，
①若AC為平行四邊形的邊，如答圖1-1所示，則EF∥AC且EF=AC．

過點(diǎn)F₁作F₁D⊥x軸于點(diǎn)D，則易證Rt△AOC≌Rt△E₁DF₁，
∴DE₁=2，DF₁=4．
∴-

1

2

x²+x+4=-4，
解得：x₁=1+

17

，x₂=1-

17

．
∴F₁（1+

17

，-4），F(xiàn)₂（1-

17

，-4）；
∴E₁（3+

17

，0），E₂（3-

17

，0）．
②若AC為平行四邊形的對角線，如答圖1-2所示．
∵點(diǎn)E₃在x軸上，∴CF₃∥x軸，
∴點(diǎn)C為點(diǎn)A關(guān)于x=1的對稱點(diǎn)，
∴F₃（2，4），CF₃=2．
∴AE₃=2，
∴E₃（-4，0），
∵C′（2，4），
所以此種情況不合題意．
綜上所述，存在點(diǎn)E、F，使得以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形；
點(diǎn)E、F的坐標(biāo)為：E₁（3+

17

，0），F(xiàn)₁（1+

17

，-4）；E₂（3-

17

，0），F(xiàn)₂（1-

17

，-4）；

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，根據(jù)拋物線的性質(zhì)求得對稱點(diǎn)的問題，平行四邊形的性質(zhì)等．解題關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)圖形解答問題．