Question

【題目】如圖，P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)（P與B、D不重合），∠APE=90°，且點(diǎn)E在BC邊上，AE交BD于點(diǎn)F．

（1）求證：①△PAB≌△PCB；②PE=PC；

（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，的值是否改變？若不變，求出它的值；若改變，請(qǐng)說明理由；

（3）設(shè)DP=x，當(dāng)x為何值時(shí)，AE∥PC，并判斷此時(shí)四邊形PAFC的形狀．

Answer 1

【答案】（1）見解析；

（2）；

（3）x=﹣1；四邊形PAFC是菱形．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)四邊形ABCD是正方形，得出AB=BC，∠ABP=∠CBP°，再根據(jù)PB=PB，即可證出△PAB≌△PCB，

②根據(jù)∠PAB+∠PEB=180°，∠PEC+∠PEB=180°，得出∠PEC=∠PCB，從而證出PE=PC；

（2）根據(jù)PA=PC，PE=PC，得出PA=PE，再根據(jù)∠APE=90°，得出∠PAE=∠PEA=45°，即可求出；

（3）先求出∠CPE=∠PEA=45°，從而得出∠PCE，再求出∠BPC即可得出∠BPC=∠PCE，從而證出BP=BC=1，x=﹣1，再根據(jù)AE∥PC，得出∠AFP=∠BPC=67.5°，由△PAB≌△PCB得出∠BPA=∠BPC=67.5°，PA=PC，從而證出AF=AP=PC，得出答案．

試題解析：（1）①∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABP=∠CBP=∠ABC=45°．

∵PB=PB，∴△PAB≌△PCB （SAS）．

②由△PAB≌△PCB可知，∠PAB=∠PCB．∵∠ABE=∠APE=90°，∴∠PAB+∠PEB=180°，

又∵∠PEC+∠PEB=180°，∴∠PEC=∠PAB=∠PCB，∴PE=PC．

（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，的值不改變．

由△PAB≌△PCB可知，PA=PC．

∵PE=PC，

∴PA=PE，

又∵∠APE=90°，

∴△PAE是等腰直角三角形，∠PAE=∠PEA=45°，∴=．

（3）∵AE∥PC，∴∠CPE=∠PEA=45°，∴在△PEC中，∠PCE=∠PEC=（180°﹣45°）=67.5°．

在△PBC中，∠BPC=（180°﹣∠CBP﹣∠PCE）=（180°﹣45°﹣67.5°）=67.5°．

∴∠BPC=∠PCE=67.5°，∴BP=BC=1，∴x=BD﹣BP=﹣1．∵AE∥PC，

∴∠AFP=∠BPC=67.5°，由△PAB≌△PCB可知，∠BPA=∠BPC=67.5°，PA=PC，

∴∠AFP=∠BPA，∴AF=AP=PC，∴四邊形PAFC是菱形．