Question

已知二次函數(shù)圖象的頂點為D（1，-4），且經(jīng)過點A（-1，0）．
（1）求該二次函數(shù)的關系式；
（2）設拋物線與x軸的另一個交點為B，與y軸的交點為C，試判斷△BCD的形狀，并說明理由；
（3）設經(jīng)過B、C、D三點的圓的圓心為O′，設⊙O′與x軸的另一個交點為E，求線段BE的長．

Answer 1

解：（1）∵二次函數(shù)圖象的頂點為D（1，-4），且經(jīng)過點A（-1，0），
∴二次函數(shù)解析式為：y=a（x-1） ²-4，
將A（-1，0）代入解析式得：0=a（-1-1） ²-4，
∴a=1，
∴二次函數(shù)的關系式為：y=（x-1） ²-4；

（2）∵拋物線與x軸的另一個交點為B，與y軸的交點為C，
∴0=（x-1） ²-4；
x₁=-1，x₂=3，
∴點B坐標為：（3，0），
y=（0-1） ²-4=-3，
∴點C坐標為：（0，-3），
過點D作DM⊥y軸，DN⊥BN，BN∥y軸，
∴CD==，
BD===2，
BC==3，
∴CD²+BC²=BD²，
∴△BCD是直角三角形；

（3）連接ED，
∵△BCD是直角三角形．
∴BD是⊙O′的直徑，
∴∠DEB=90°，
∵∠MOE=90°，∠OMD=90°，
∴四邊形OMDE是矩形，
∴MD=OE=1，
∴E點坐標為：（1，0）．
∴BE=2．
分析：（1）由二次函數(shù)的頂點坐標以及A點坐標，利用頂點式求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）首先求出二次函數(shù)與坐標軸交點坐標，進而得出CD，BD，BC的長度，進而得出答案；
（3）利用直角三角形的性質(zhì)得出四邊形OMDE是矩形，進而求出即可．
點評：此題主要考查了頂點式求二次函數(shù)解析式以及矩形判定方法和直角三角形判定方法，根據(jù)已知得出CD，BD，BC的長度是解題關鍵．