Question

16．（1）如圖①，已知：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，求證：DE=BD+CE；
（2）拓展：如圖②，將（1）中的條件改為：△ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，α為任意銳角或鈍角，請(qǐng)問(wèn)結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）應(yīng)用：如圖③，在△ABC中，∠BAC是鈍角，AB=AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，直線m與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，若BC=2CF，△ABC的面積是12，求△ABD與△CEF的面積之和．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)BD⊥直線m，CE⊥直線m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根據(jù)等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，由AAS證得△ADB≌△CEA，則AE=BD，AD=CE，即可得出結(jié)論；
（2）由∠BDA=∠BAC=α，則∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，得出∠CAE=∠ABD，由AAS證得△ADB≌△CEA即可得出答案；
（3）由∠BAD＞∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，∴∠CAE=∠ABD，得出∠CAE=∠ABD，由AAS證得△ADB≌△CEA，得出S_△ABD=S_△CEA，再由不同底等高的兩個(gè)三角形的面積之比等于底的比，得出S_△ACF即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠CAE}\\{∠BDA=∠CEA}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（2）解：結(jié)論DE=BD+CE成立；理由如下：
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠CAE}\\{∠BDA=∠CEA}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（3）解：∵∠BAD＞∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ABD和△CEA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠CAE}\\{∠BDA=∠CEA}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CEA（AAS），
∴S_△ABD=S_△CEA，
設(shè)△ABC的底邊BC上的高為h，則△ACF的底邊CF上的高為h，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•h=12，S_△ACF=$\frac{1}{2}$CF•h，
∵BC=2CF，
∴S_△ACF=6，
∵S_△ACF=S_△CEF+S_△CEA=S_△CEF+S_△ABD=6，
∴△ABD與△CEF的面積之和為6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及不同底等高的兩個(gè)三角形的面積之比等于底的比，結(jié)合題目所給條件，得出∠CAE=∠ABD是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．