【題目】如圖1,以□ABCD的較短邊CD為一邊作菱形CDEF,使點F落在邊AD上,連接BE,交AF于點G.
(1)猜想BG與EG的數(shù)量關(guān)系.并說明理由;
(2)延長DE,BA交于點H,其他條件不變,
①如圖2,若∠ADC=60°,求的值;
②如圖3,若∠ADC=α(0°<α<90°),直接寫出的值.(用含α的三角函數(shù)表示)
【答案】(1),理由見解析;(2);(3).
【解析】
(1)BG=EG,根據(jù)已知條件易證△BAG≌△EFG,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得結(jié)論;(2)①方法一:過點G作GM∥BH,交DH于點M,證明ΔGME∽ΔBHE,即可得,再證明是等邊三角形,可得 ,由此可得;方法二:延長,交于點,證明ΔHBM為等邊三角形,再證明∽ ,即可得結(jié)論;②如圖3,連接EC交DF于O根據(jù)三角函數(shù)定義得cosα=,則OF=bcosα,DG=a+2bcosα,同理表示AH的長,代入計算即可.
(1),
理由如下:
∵四邊形是平行四邊形,
∴∥,.
∵四邊形是菱形,
∴∥,.
∴∥,.
∴.
又∵,
∴≌ .
∴.
(2)方法1:過點作∥,交于點,
∴.
∵,
∴∽.
∴.
由(1)結(jié)論知.
∴.
∴.
∵四邊形為菱形,
∴.
∵四邊形是平行四邊形,
∴.
∵∥,
∴.
∴,
即.
∴是等邊三角形。
∴.
∴.
方法2:延長,交于點,
∵四邊形為菱形,
∴.
∵四邊形為平形四邊形,
∴,∥.
∴.
,
即.
∴為等邊三角形.
∴.
∵∥,
∴,.
∴∽ ,
∴.
由(1)結(jié)論知
∴.
∴.
∵,
∴ .
(3). 如圖3,連接EC交DF于O,
∵四邊形CFED是菱形,
∴EC⊥AD,F(xiàn)D=2FO,
設(shè)FG=a,AB=b,則FG=a,EF=ED=CD=b,
Rt△EFO中,cosα=,
∴OF=bcosα,
∴DG=a+2bcosα,
過H作HM⊥AD于M,
∵∠ADC=∠HAD=∠ADH=α,
∴AH=HD,
∴AM=AD=(2a+2bcosα)=a+bcosα,
Rt△AHM中,cosα=,
∴AH=,
∴==cosα.
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【題目】如圖,∠A=∠B=90°,AB=7,AD=2,BC=3,如果邊AB上的點P使得以P,A,D為頂點的三角形和以P,B,C為頂點的三角形相似,則這樣的P點共有幾個( 。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】如圖,直線y=x+4與x軸、y軸分別交于點A和點B,點C、D分別為線段AB、OB的中點,點P為OA上一動點,當(dāng)PC+PD的值最小時,點P的坐標為( 。
A.(﹣1,0)B.(﹣2,0)C.(﹣3,0)D.(﹣4,0)
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【題目】已知四邊形ABCD是正方形,點E是邊BC上的任意一點,AE⊥EF,且直線EF交正方形外角的平分線CF于點F.
(1)如圖1,求證:AE=EF;
(2)如圖2,當(dāng)AB=2,點E是邊BC的中點時,請直接寫出FC的長.
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【題目】如圖,△ABC三個頂點的坐標分別為A(1,1),B(4,2),C(3,4).
(1)請畫出△ABC向左平移5個單位長度后得到的△A1B1C1;
(2)請畫出△ABC關(guān)于原點對稱的△A2B2C2;并寫出點A2、B2、C2坐標;
(3)請畫出△ABC繞O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的△A3B3C3;并寫出點A3、B3、C3坐標.
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【題目】一輛高鐵與一輛動車組列車在長為1320千米的京滬高速鐵路上運行,已知高鐵列車比動車組列車平均速度每小時快99千米,且高鐵列車比動車組列車全程運行時間少3小時,求這輛高鐵列車全程運行的時間和平均速度.
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【題目】如圖,點的坐標為,軸,垂足為,軸,垂足為,點分別是射線、上的動點,且點不與點、重合,.
(1)如圖1,當(dāng)點在線段上時,求的周長;
(2)如圖2,當(dāng)點在線段的延長線上時,設(shè)的面積為,的面積為,請猜想與之間的等量關(guān)系,并證明你的猜想.
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【題目】如圖,等邊三角形ABC的邊長為4,AD是BC邊上的中線,F是AD邊上的動點,E是AC邊上一點.若AE=2,當(dāng)EF+CF取得最小值時,∠ECF的度數(shù)為( )
A. 20° B. 25° C. 30° D. 45°
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