Question

在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm，點P從點A出發(fā)，沿折線ABCD方向以3cm/s的速度勻速運動；點Q從點D出發(fā)，沿線段DC方向以2cm/s的速度勻速運動．已知兩點同時出發(fā)，當(dāng)一個點到達(dá)終點時，另一點也停止運動，設(shè)運動時間為t（s）．
（1）求CD的長；
（2）當(dāng)四邊形PBQD為平行四邊形時，求四邊形PBQD的周長；
（3）在點P、Q的運動過程中，是否存在某一時刻，使得△BPQ的面積為20cm²？若存在，請求出所有滿足條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直角梯形,一元一次方程的應(yīng)用,平行四邊形的性質(zhì)

專題：動點型

分析：（1）過A作AM⊥DC于M，得出平行四邊形AMCB，求出AM，根據(jù)勾股定理求出DM即可；
（2）根據(jù)平行四邊形的對邊相等得出方程，求出即可；
（3）分為三種情況，根據(jù)題意畫出符合條件的所有圖形，根據(jù)三角形的面積得出方程，求出符合范圍的數(shù)即可．

解答：解：（1）如圖1，

過A作AM⊥DC于M，
∵在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，
∴AM∥BC，
∴四邊形AMCB是矩形，
∵AB=AD=10cm，BC=8cm，
∴AM=BC=8cm，CM=AB=10cm，
在Rt△AMD中，由勾股定理得：DM=6cm，
CD=DM+CM=10cm+6cm=16cm；
                                                     
（2）如圖2，

當(dāng)四邊形PBQD是平行四邊形時，PB=DQ，
即10-3t=2t，
解得t=2，
此時DQ=4，CQ=12，BQ=

BC2+CQ2

=4

13

，
所以C_□PBQD=2（BQ+DQ）=8+8

13

；
即四邊形PBQD的周長是（8+8

13

）cm；

（3）當(dāng)P在AB上時，如圖3，

即0≤t≤

10

3

，
S_△BPQ=

1

2

BP•BC=4（10-3t）=20，
解得t=

5

3

；
當(dāng)P在BC上時，如圖4，即

10

3

＜t≤6，

S_△BPQ=

1

2

BP•CQ=

1

2

（3t-10）（16-2t）=20，、
此方程沒有實數(shù)解；                                                         
當(dāng)P在CD上時：
若點P在點Q的右側(cè)，如圖5，即6＜t≤

34

5

，

S_△BPQ=

1

2

PQ•BC=4（34-5t）=20，
解得t=

29

5

＜6，不合題意，應(yīng)舍去；                                             
若P在Q的左側(cè)，如圖6，即

34

5

＜t≤8，

S_△BPQ=

1

2

PQ•BC=4（5t-34）=20，
解得t=

39

5

；
綜上所述，當(dāng)t=

5

3

秒或

39

5

秒時，△BPQ的面積為20cm²．

點評：本題考查了梯形性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，三角形的面積的應(yīng)用，用了分類討論思想，題目比較好，有一定的難度．