Question

11．閱讀材料：求1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³的值．
解：設S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³，將等式兩邊同時乘以2得：2S=2+2²+2³+2⁴+2⁵+…+2²⁰¹³+2²⁰¹⁴
將下式減去上式得2S-S=2²⁰¹⁴-1
即S=2²⁰¹⁴-1
即1+2+2²+2³+2⁴+…=2²⁰¹⁴-1
請你仿照此法計算：
（1）1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰
（2）1+5+5²+5³+5⁴+…+5ⁿ（其中n為正整數(shù)）．

Answer 1

分析 （1）設原式=S，兩邊乘以2變形得到關系式，兩式相減即可求出S；
（2）設原式=S，兩邊乘以5變形得到關系式，兩式相減即可求出S．

解答 解：（1）設S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰，
兩邊乘以2得：2S=2+2²+2³+2⁴+…+2²¹，
下式減去上式得：S=2²¹-1；
（2）設S=1+5+5²+5³+5⁴+…+5ⁿ，
兩邊乘以5得：5S=5+5²+5³+5⁴+…+5ⁿ⁺¹，
下式減去上式得：4S=5ⁿ⁺¹-1，即S=$\frac{{5}^{n+1}-1}{4}$，
則1+5+5²+5³+5⁴+…+5ⁿ=$\frac{{5}^{n+1}-1}{4}$．

點評 此題考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握乘方的意義是解本題的關鍵．