Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，點P，Q在對角線BD上，且BQ＝BP，過點P作PH⊥AB于點H，連接HQ，以PH、HQ為鄰邊作平行四邊形PHQG，設BQ＝m．

（1）若m＝2時，求此時PH的長．

（2）若點C，G，H在同一直線上時，求此時的m值．

（3）若經過點G的直線將矩形ABCD的面積平分，同時該直線將平行四邊形PHQG的面積分成1：3的兩部分，求此時m的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）滿足條件的m的值為或

【解析】

（1）根據勾股定理可求BD=5，再證明△BPH∽△BDA，即，然后求解即可；

（2）設BQ=2x，則BP=3x，PQ=x，再證明△PHO∽△BCO，即，則可求得PH的長；然后再證明△BPH∽△BDA，即，即可求得x的值；

（3）如圖：分當直線OG經過PH的中點R時和當直線OG經過HQ的中點N時兩種情況按平行線分線段成比例解答即可．

解：（1）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，

∴BD＝＝＝5，

∵BQ＝2，，

∴BP＝3，

∵PH∥AD，

∴△BPH∽△BDA，

∴，

∴；

（2）如圖，設HG與PQ交于點O，

設BQ＝2x，則BP＝3x，PQ＝x，

∴PO＝QO＝x，

∴BO＝x，

∵PH∥BC，

∴△PHO∽△BCO，

∴，

∴PH＝＝，

∵PH∥AD，

∴△BPH∽△BDA，

∴，

∴，

∴x＝，

∴BQ＝；

（3）連接AC交BD于O，

∵經過點G的直線將矩形ABCD的面積平分，

∴這條直線經過矩形ABCD的對角線的交點O．

①如圖，當直線OG經過PH的中點R時，直線OG將平行四邊形PHQG的面積分成1：3的兩部分，

∵PH∥GQ，

∴，

∴，

∴m＝；

②如圖，當直線OG經過HQ的中點N時，直線OG將平行四邊形PHQG的面積分成1：3的兩部分，

∵PG∥HQ，

∴＝＝，

∴，

∴m＝；

綜上所述，滿足條件的m的值為或．