Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點E是AB上的一點，CD是過E點的弦，過點B的切線交AC的延長線于點F，BF∥CD，連接BC．

（1）已知，，求弦CD的長；

（2）連接BD，如果四邊形BDCF為平行四邊形，則點E位于AB的什么位置？試說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）點E是AB的中點，理由見解析

【解析】（1）解：∵BF與⊙O相切，

∴．····························· 1分

而BF∥CD，∴．

又∵AB是直徑，∴．······················ 2分

連接CO，

設(shè)，則．

由勾股定理可知：，

即，．····················· 4分

因此．··············· 5分

（2）∵四邊形BDCF為平行四邊形，

∴．

而，   ∴．·················· 7分

∵BF∥CD，   ∴△AEC∽△ABF．····················· 8分

∴．   ∴點E是AB的中點．  9分

（1）由BF與⊙O相切，根據(jù)切線的性質(zhì)，可得BF⊥AB，又由BF∥CD，易得CD⊥AB，由垂徑定理即可求得CE=DE，然后連接CO，設(shè)OE=x，則BE=9-x，由勾股定理即可求得OE的長，繼而求得CD的長；

（2）由四邊形BDCF為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，即可得CD=BF，又由△AEC∽△ABF，即可求得點E是AB的中點．