Question

如圖，小紅作出了面積為1的正△ABC，然后分別取△ABC三邊的中點(diǎn)A₁，B₁，C₁，作出了正△A₁B₁C₁，用同樣的方法，作出了正△A₂B₂C₂，…，由此可得，正△A₈B₈C₈的面積是

1

48

．

Answer 1

分析：首先由別取△ABC三邊的中點(diǎn)A₁，B₁，C₁，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，可得△A₁B₁C₁∽△ABC，然后由相似三角形面積比等于相似比的平方，即可求得S_△A1B1C1=

1

4

S_△ABC=

1

4

，繼而可得規(guī)律：S_△AnBnCn=

1

4n

，則可求得答案．

解答：解：∵△ABC三邊的中點(diǎn)A₁，B₁，C₁，
∴B₁C₁=

1

2

BC，A₁B₁=

1

2

AB，A₁C₁=

1

2

AC，
∴△A₁B₁C₁∽△ABC，
∴S_△A1B1C1=

1

4

S_△ABC=

1

4

，
同理：S_△A2B2C2=

1

4

S_△A1B1C1=

1

42

，
∴S_△AnBnCn=

1

4n

，
∴正△A₈B₈C₈的面積是：

1

48

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)與三角形中位線的性質(zhì)．此題難度適中，注意得到規(guī)律：S_△AnBnCn=

1

4n

是解此題的關(guān)鍵．