Question

已知，M是等邊△ABC邊BC上的點(diǎn) .

（1）（3分）如圖1,過(guò)點(diǎn)M作MN∥AC，且交AB于點(diǎn)N ，求證：BM=BN；

（2）（7分）如圖2，聯(lián)結(jié)AM，過(guò)點(diǎn)作∠AMH=60°，MH與∠ACB的鄰補(bǔ)角的平分線交與點(diǎn)H ，過(guò)H作HD BC于點(diǎn)D.

①求證： MA=MH；  ②猜想寫(xiě)出CB,CM,CD之間的數(shù)量關(guān)系式，并加于證明；

（3）（4分）如圖3，（2）中其它條件不變，若點(diǎn)M在BC延長(zhǎng)線上時(shí),（2）中兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若不成立請(qǐng)直接寫(xiě)出新的數(shù)量關(guān)系式（不必證明）.

         

圖1                      圖2                         圖3

Answer 1

(1)證明: ∵M(jìn)N∥AC

∴∠BMN=∠C=60°，∠BNM=∠B=60°………1分

∴∠BMN=∠BNM………2分

∴BM=BN………3分

（2）①證明：過(guò)M點(diǎn)作MN∥AC交AB于N………4分

則BM=BN，∠ANM=120°

∵AB=AC  ∴AN=MC

又因?yàn)镃H是∠ACB外角平分線，所以∠ACH=60°

∴∠MCH=∠ACB+∠ACH=120°

又∵∠NMC=120°，∠AMH=60°

∴∠HMC+∠AMN=60°

又∵∠NAM+∠AMN=∠BNM=60°

∴∠HMC=∠MAN

∴△AMN≌△MHC………6分

∴MA=MH………7分

②CB=CM+2CD………8分

證明：過(guò)M點(diǎn)作MG⊥AB于G

則△BMN為等邊三角形,BM=2BG

在△BMG和△CHD中

∵HC=MN=BM, ∠B=∠HCD,  ∠MGB=∠HDC

∴△BMG≌△CHD………9分

∴CD=BG  ∴BM=2CD

所以BC=MC+2CD………10分

(3)          (2)中結(jié)論①成立, ②不成立, ………12分

  CB=2CD- CM ………14分