Question

如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象在第一象限，矩形OABC的頂點A在y軸負半軸，頂點C在x軸正半軸，且OA=4

3

，AB=6．
（1）直接寫出A、B、C三點的坐標；
（2）將矩形OABC繞頂點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°，矩形的兩個頂點恰好同時落在反比例函數(shù)的圖象上，猜想這是哪兩個點，并求出此時這兩個點的坐標及反比例函數(shù)的解析式．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征,矩形的性質(zhì),坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)

專題：

分析：（1）直接根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得出各點坐標；
（2）根據(jù)點A在y軸負半軸上可知，將矩形OABC繞頂點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°，必然是BC兩點落在反比例函數(shù)的圖象上，過點C′作C′D⊥y軸于點D，由直角三角形的性質(zhì)求出C′D的長，進而得出C′的坐標，進而得出反比例函數(shù)的解析式，在Rt△OAE中求出OC的長，利用待定系數(shù)法求出直線OC的解析式，根據(jù)平移的性質(zhì)得出直線A′B′的解析式，進而得出B點坐標．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，OA=4

3

，AB=6，
∴A（0，-4

3

），B（6，-4

3

），C（6，0）；

（2）如圖所示，
∵點A在y軸負半軸上，
∴將矩形OABC繞頂點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°，B、C兩點落在反比例函數(shù)的圖象上，
過點C′作C′D⊥y軸于點D，
∵OC′=OC=6，∠EOC′=60°，
∴∠DOC′=30°，
∴C′D=3，OD=

OC′2-C′D2

=

62-32

=3

3

，
∴C′（3，3

3

），
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

9 3

x

，
∵∠AOA′=60°，OA′=OA=4

3

，
∴∠A′OE=30°，
∴OC=

OA′

cos30°

=

4 3

3 2

=8，
設直線OC′的解析式為y=kx（k≠0），
∵C′（3，3

3

），
∴3

3

=3k，解得k=

3

，
∴直線OC′的解析式為y=

3

x，
∵OC′∥A′B′，
∴直線A′B′的解析式為y=

3

x-8

3

，
∴

y= 3 x y= 3 x-8 3

，
解得x=9，y=

3

，
∴B′（9，

3

）．

點評：本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，涉及到圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識，難度較大．