如圖,在平面直角坐標系中,反比例函數(shù)y=
k
x
(x>0)的圖象在第一象限,矩形OABC的頂點A在y軸負半軸,頂點C在x軸正半軸,且OA=4
3
,AB=6.
(1)直接寫出A、B、C三點的坐標;
(2)將矩形OABC繞頂點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°,矩形的兩個頂點恰好同時落在反比例函數(shù)的圖象上,猜想這是哪兩個點,并求出此時這兩個點的坐標及反比例函數(shù)的解析式.
考點:反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征,矩形的性質(zhì),坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)
專題:
分析:(1)直接根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得出各點坐標;
(2)根據(jù)點A在y軸負半軸上可知,將矩形OABC繞頂點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°,必然是BC兩點落在反比例函數(shù)的圖象上,過點C′作C′D⊥y軸于點D,由直角三角形的性質(zhì)求出C′D的長,進而得出C′的坐標,進而得出反比例函數(shù)的解析式,在Rt△OAE中求出OC的長,利用待定系數(shù)法求出直線OC的解析式,根據(jù)平移的性質(zhì)得出直線A′B′的解析式,進而得出B點坐標.
解答:解:(1)∵四邊形ABCD是矩形,OA=4
3
,AB=6,
∴A(0,-4
3
),B(6,-4
3
),C(6,0);

(2)如圖所示,
∵點A在y軸負半軸上,
∴將矩形OABC繞頂點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°,B、C兩點落在反比例函數(shù)的圖象上,
過點C′作C′D⊥y軸于點D,
∵OC′=OC=6,∠EOC′=60°,
∴∠DOC′=30°,
∴C′D=3,OD=
OC2-C′D2
=
62-32
=3
3

∴C′(3,3
3
),
∴反比例函數(shù)的解析式為y=
9
3
x
,
∵∠AOA′=60°,OA′=OA=4
3
,
∴∠A′OE=30°,
∴OC=
OA′
cos30°
=
4
3
3
2
=8,
設直線OC′的解析式為y=kx(k≠0),
∵C′(3,3
3
),
∴3
3
=3k,解得k=
3
,
∴直線OC′的解析式為y=
3
x,
∵OC′∥A′B′,
∴直線A′B′的解析式為y=
3
x-8
3

y=
3
x
y=
3
x-8
3
,
解得x=9,y=
3

∴B′(9,
3
).
點評:本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點,涉及到圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識,難度較大.
練習冊系列答案
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