Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D為半圓O的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)C作CE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求證：CE為⊙O的切線；
（2）判斷四邊形AOCD的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AC，

∵點(diǎn)CD是半圓O的三等分點(diǎn)，

∴ = = ，

∴∠DAC=∠CAB，

∵OA=OC，

∴∠CAB=∠OCA，

∴∠DAC=∠OCA，

∴AE∥OC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

∴∠OCE+∠E=180°，

∵CE⊥AD，

∴∠OCE=90°，

∴OC⊥CE，

∴CE是⊙O的切線

（2）解：四邊形AOCD為菱形．

理由是：

∵ = ，

∴∠DCA=∠CAB，

∴CD∥OA，

又∵AE∥OC，

∴四邊形AOCD是平行四邊形，

∵OA=OC，

∴平行四邊形AOCD是菱形

【解析】（1）連接AC，由題意得 = = ，∠DAC=∠CAB，即可證明AE∥OC，從而得出∠OCE=90°，即可證得結(jié)論；（2）四邊形AOCD為菱形．由 = ，則∠DCA=∠CAB可證明四邊形AOCD是平行四邊形，再由OA=OC，即可證明平行四邊形AOCD是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）．