Question

14．如圖所示，在?ABCD中，BC=2AB，點M是AD的中點，CE⊥AB于E，
（1）求證：M在EC的中垂線上；
（2）如果∠AEM=50°，求∠B的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）連結并延長CM，交BA的延長線于點N，根據(jù)已知條件和平行四邊形的性質(zhì)可證明△NAM≌△CDM，所以NM=CM，NA=CD，問題得證；
（2）由（1）再結合已知條件CE⊥AB于E，∠AEM=50°，即可求出∠B的度數(shù)．

解答 解：（1）連結并延長CM，交BA的延長線于點N，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠NAM=∠D，
∵點M是的AD中點，
∴AM=DM
在△NAM和△CDM中
∵$\left\{\begin{array}{l}∠NMA=∠D\\ AM=DM\\∠AMN=∠DMC\end{array}\right.$
∴△NAM≌△CDM，
∴NM=CM，
∵CE⊥AB于E，即∠NEC=90°
∴EM=$\frac{1}{2}$NC=MC，
∴M在EC的中垂線上，
（2）由（1）可得NA=CD，
∵AB=CD，
∴NA=AB，即BN=2AB，
∵BC=2AB，
∴BC=BN，∠N=∠NCB，
∴∠N=∠NEM=50°=∠NCB，
∴∠B=80°．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，綜合性較強，難度較大，解答本題的關鍵是正確作出輔助線，構造全等三角形，在利用等腰三角形的性質(zhì)解答．