Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（-2，0）、B（0，1）、C（d，2）．
（1）求d的值；
（2）將△ABC沿x軸的正方向平移，在第一象限內(nèi)B、C兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′、C′正好落在某反比例函數(shù)圖象上．請(qǐng)求出這個(gè)反比例函數(shù)和此時(shí)的直線B′C′的解析式；
（3）在（2）的條件下，直線BC交y軸于點(diǎn)G．問是否存在x軸上的點(diǎn)M和反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)P，使得四邊形PGMC′是平行四邊形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M和點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）作CN⊥x軸于點(diǎn)N，
∵A（-2，0）、B（0，1）、C（d，2），
∴OA=2，OB=1，CN=2，
∵∠CAB=90°，即∠CAN+∠BAO=90°，
又∵∠CAN+∠ACN=90°，
∴∠BAO=∠ACN，
在Rt△CNA和Rt△AOB中，
∵

∠ACN=∠BAO ∠ANC=∠BOA=90° CA=AB

，
∴Rt△CNA≌Rt△AOB（AAS），
∴NC=OA=2，AN=BO=1，
∴NO=NA+AO=3，又點(diǎn)C在第二象限，
∴d=-3；

（2）設(shè)反比例函數(shù)為y=

k

x

（k≠0），點(diǎn)C′和B′在該比例函數(shù)圖象上，
設(shè)C′（m，2），則B′（m+3，1），
把點(diǎn)C′和B′的坐標(biāo)分別代入y=

k

x

，得k=2m；k=m+3，
∴2m=m+3，
解得：m=3，
則k=6，反比例函數(shù)解析式為y=

6

x

，點(diǎn)C′（3，2），B′（6，1），
設(shè)直線C′B′的解析式為y=ax+b（a≠0），
把C′、B′兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得：

3a+b=2 6a+b=1

，
∴解得：

a=- 1 3 b=3

；
∴直線C′B′的解析式為y=-

1

3

x+3；


（3）存在x軸上的點(diǎn)M和反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)P，使得四邊形PGMC′是平行四邊形，理由為：
設(shè)Q是GC′的中點(diǎn)，令y=-

1

3

x+3中x=0，得到y(tǒng)=3，
∴G（0，3），又C′（3，2），
∴Q（

3

2

，

5

2

），
過點(diǎn)Q作直線l與x軸交于M′點(diǎn)，與y=

6

x

的圖象交于P′點(diǎn)，
若四邊形P′GM′C′是平行四邊形，則有P′Q=QM′，
易知點(diǎn)M′的橫坐標(biāo)大于

3

2

，點(diǎn)P′的橫坐標(biāo)小于

3

2

，
作P′H⊥x軸于點(diǎn)H，QK⊥y軸于點(diǎn)K，P′H與QK交于點(diǎn)E，作QF⊥x軸于點(diǎn)F，
∵QF∥P′E，
∴∠M′QF=∠QP′E，
在△P′EQ和△QFM′中，
∵

∠P′EQ=∠QFM′ ∠QP′E=∠M′QF P′Q=QM′

，
∴△P′EQ≌△QFM′（AAS），
∴EQ=FM′，P′Q=QM′，
設(shè)EQ=FM′=t，
∴點(diǎn)P′的橫坐標(biāo)x=

3

2

-t，點(diǎn)P′的縱坐標(biāo)y=2•y_Q=5，點(diǎn)M′的坐標(biāo)是（

3

2

+t，0），
∴P′在反比例函數(shù)圖象上，即5（

3

2

-t）=6，
解得：t=

3

10

，
∴P′（

6

5

，5），M′（

9

5

，0），
則點(diǎn)P′為所求的點(diǎn)P，點(diǎn)M′為所求的點(diǎn)M．