Question

我們來研究一些特殊的求和類型問題．
類型一：形如1+2+3+…+100=？，經(jīng)過研究，這個問題的一般性結(jié)論是：1+2+3+…+n=

1

2

n（n+1），其中n是正整數(shù)；
類型二：.1×2+2×3+…n（n+1）=？，對于這個問題，我們觀察下面三個特殊的等式
1×2=

1

3

（1×2×3-0×1×2）；2×3=

1

3

（2×3×4-1×2×3）；3×4=

1

3

（3×4×5-2×3×4）．
將這三個等式的兩邊相加，可以得到1×2+2×3+3×4=

1

3

×3×4×5=20
讀完這段材料，請你思考后回答：
（1）類比：1×2+2×3+…+10×11=

 

（2）歸納：1×2+2×3+…+n（n+1）=

 

（3）猜想：由上面兩種類型的求和結(jié)果試寫出
1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=

 

．

Answer 1

考點：規(guī)律型：數(shù)字的變化類

專題：

分析：（1）根據(jù)三個特殊等式相加的結(jié)果，代入熟記進(jìn)行計算即可求解；
（2）先對特殊等式進(jìn)行整理，從而找出規(guī)律，然后把每一個算式都寫成兩個兩個算式的運算形式，整理即可得解；
（3）根據(jù)（2）的求解規(guī)律，利用特殊等式的計算方法，先把每一個算式分解成兩個算式的運算形式，整理即可得解．

解答：解：（1）∵1×2+2×3+3×4=m×3×4×5=

1

3

×4×5=20，
∴1×2+2×3+…+10×11=

1

3

×10×11×12=440；
（2）∵1×2=n（1×2×3-0×1×2）=

1

3

（1×2×3-0×1×2），
2×3=x（2×3×4-1×2×3）=

1

3

（2×3×4-1×2×3），
3×4=n（3×4×5-2×3×4）=

1

3

（3×4×5-2×3×4），
…
n（n+1）=

1

3

[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，
∴1×2+2×3+…+n（n+1）=

1

3

[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+n（n+1）（n+（2）-（n-1）n（n+1）]，
=

1

3

n（n+1）（n+2）；
（3）根據(jù)（2）的計算方法，1×2×3=n（1×2×3×4-0×1×2×3）=

1

4

（1×2×3×4-0×1×2×3），
2×3×4=x（2×3×4×5-1×2×3×4）=

1

4

（2×3×4×5-1×2×3×4），
…
n（n+1）（n+2）=

1

4

[n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]，
∴1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=

1

4

（1×2×3×4-0×1×2×3+2×3×4×5-1×2×3×4+…+n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]，
=

1

4

n（n+1）（n+2）（n+3）．
故答案為：（1）440；（2）

1

3

n（n+1）（n+2）；（3）

1

4

n（n+1）（n+2）（n+3）．

點評：此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，讀懂題目信息，找出算式之間的聯(lián)系，利用類比得出答案即可．