Question

如圖，正方形ABCD中，E為BC邊中點．
（1）如圖1，F(xiàn)為BE中點，求證：∠ADF=2∠CDE；
（2）如圖2，將△DCE沿DE翻折得到△DGE，EG的延長線交AB于M，DG的延長線交AB于N，求：求

AN

CN

的值．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）取AB中點H，連接DH，F(xiàn)H，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AB=BC=CD=AD，AH=CE=

1

2

AB，設(shè)BF=a，則AB=AD=BC=4a，CF=3a，AH=BH=2a，求出△DFH是直角三角形，根據(jù)

AD

AH

=

4a

2a

=

DH

FH

求出△ADH∽△HDF，推出∠ADH=∠FDH，求出△HAD≌△ECD，∠CDE=∠ADH=∠FDH，求出∠ADF=2∠ADH=2∠CDE；
（2）延長EG交AB于M，交DA于H，連接DM，根據(jù)翻折得出CE=EG=2a，DG=DC=AD=4a，∠DEC=∠DEG，∠DGE=∠DCE=90°，在Rt△DGH中，DH²=GH²+DG²，求出GH=3a，證Rt△ADM≌Rt△DGM，推出AM=MG，證△AMH≌△GMN，推出MH=MN，求出AN=GH=3a，BN=AB-AN=a，根據(jù)勾股定理求出CN，即可得出答案．

解答：（1）證明：如圖1，取AB中點H，連接DH，F(xiàn)H，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，AH=CE=

1

2

AB，
∵F是BE的中點，
∴BF=EF=

1

2

CE=

1

4

BC，
設(shè)BF=a，則AB=AD=BC=4a，
∴CF=3a，AH=BH=2a，
∴DH²=AH²+AD²=20a²，F(xiàn)H²=BH²+BF²=5a²，DF²=CF²+DC²=25a²，
∴DF²=DH²+FH²，
∴△DFH是直角三角形，
∵

AD

AH

=

4a

2a

=2=

20a2

5a2

=

DH

FH

，
∴△ADH∽△HDF，
∴∠ADH=∠FDH，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠C=90°，
在△HAD和△ECD中

AD=DC ∠A=∠C=90° AH=CE

∴△HAD≌△ECD，
∴∠CDE=∠ADH=∠FDH，
∴∠ADF=∠ADH+∠FDH=2∠ADH=2∠CDE；

（2）解：如圖2，延長EG交AB于M，交DA于H，連接DM，
∵△DCE沿DE翻折到△DGE，
∴△DCE≌△DGE，
∴CE=EG=2a，DG=DC=AD=4a，∠DEC=∠DEG，∠DGE=∠DCE=90°，
∵AD∥BC，
∴∠HDE=∠DEC=∠DEG，
∴DH=EH=GH+GE=GH+2a，
∴在Rt△DGH中，DH²=GH²+DG²，
即（GH+2a）²=GH²+（4a）²，
解得：GH=3a，
∵∠DAM=∠DGM=90°，
∴在Rt△ADM和Rt△DGM中

DM=DM AD=DG

∴Rt△ADM≌Rt△DGM，
∴AM=MG，
在△AMH和△GMN中

∠HAM=∠NGM=90° AM=MG ∠AMH=∠GMN

∴△AMH≌△GMN，
∴MH=MN，
∴AN=AM+MN=MG+MH=GH=3a，
∴BN=AB-AN=a，
∴CN=

BN2+BC2

=

17

a，
∴

AN

CN

=

3a

17 a

=

3 17

17

．

點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，正方形的性質(zhì)的應(yīng)用，題目比較好，但是難度偏大．