Question

10．探究與證明：
（1）如圖1，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD互相垂直且相等，BE⊥CD于E，在BE上截取BP=CD，連接DP．試探究線段DA、DP之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并將你得到的結(jié)論予以證明；
（2）若將四邊形的對(duì)角線AC平移，即仍保持AC=BD，AC⊥BD，過點(diǎn)B作BE⊥CD于E，在BE上截取BP=CD，連接DP（如圖2）．問（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，予以證明；若不成立，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂直的定義得到∠COD=∠BED=90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠DBP=∠ACD，推出△ACD≌△DBP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD=PD，∠DAC=∠DBP，根據(jù)余角的性質(zhì)得到即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)垂直的定義得到∠COD=∠BED=90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠DBP=∠ACD，推出△ACD≌△DBP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD=PD，∠DAC=∠DBP，根據(jù)余角的性質(zhì)得到即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）AD=PD，AD⊥PD，
理由：∵AC⊥BD，BE⊥CD，
∴∠COD=∠BED=90°，
∵∠ODE=∠ODE，
∴∠DBP=∠ACD，
在△ACD與△BDP中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BD}\\{∠ACD=∠DBP}\\{CD=BP}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△DBP，
∴AD=PD，∠DAC=∠DBP，
∵∠DAC+∠ADB=90°，
∴∠ADB+∠BDP=90°，
∴∠ADP=90°，
∴AD⊥DP；

（2）（1）中的結(jié)論成立，
∵AC⊥BD，BE⊥CD，
∴∠COD=∠BED=90°，
∵∠ODE=∠ODE，
∴∠DBP=∠ACD，
在△ACD與△BDP中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BD}\\{∠ACD=∠DBP}\\{CD=BP}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△DBP，
∴AD=PD，∠DAC=∠DBP，
∵∠DAC+∠ADB=90°，
∴∠ADB+∠BD=90°，
∴∠ADP=90°，
∴AD⊥DP．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，余角的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．