Question

3．如圖，拋物線y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，線段OA、OC的長（OA＜OC）是方程x²-4x+3=0的兩個(gè)根，且拋物線的對稱軸是直線x=1．
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，0）；
（2）此拋物線的表達(dá)式為y=-x²+2x+3，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是（1，4）；
（3）若直線y=kx（0＜k＜2）與拋物線y=ax²+bx+c相交于兩點(diǎn)D、E，且P是線段DE的中點(diǎn)．當(dāng)k為何值時(shí)？四邊形PCMB的面積最小，最小值是多少？
（4）在（3）的條件下，若Q是拋物線上AM間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是多少時(shí)，五邊形AOEMQ的面積最大？

Answer 1

分析 （1）由線段OA、OC的長（OA＜OC）是方程x²-4x+3=0的兩個(gè)根，可求得OA，OC的長，即可求得點(diǎn)A與點(diǎn)C坐標(biāo)，又由拋物線的對稱軸是直線x=1，根據(jù)對稱性，可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）首先設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a（x+1）（x-3），然后將C（0，3）代入，即可求得答案；
（3）首先設(shè)D的坐標(biāo)為（x₁，y₁），E的坐標(biāo)為（x₂，y₂），由直線y=kx（0＜k＜2）與拋物線y=ax²+bx+c相交于兩點(diǎn)D、E，可得x²+（k-2）x-3=0，則可求得P的橫坐標(biāo)為：$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{k-2}{2}$=$\frac{2-k}{2}$，繼而表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后由S_{四邊形PCMB}=S_梯形OCMF+S_△BMF-S_△OBP-S_△OCP，求得答案；
（4）由S_{五邊形AOEMQ}=S_{四邊形AOEM}+S_△AMQ，且S_{四邊形AOEM}是定值，可得當(dāng)△AMQ的面積最大時(shí)，五邊形AOEMQ的面積最大；然后求當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是多少時(shí)，△AMQ的面積最大即可．

解答 解：（1）∵x²-4x+3=0，
∴（x-1）（x-3）=0，
解得：x₁=1，x₂=3，
∴OA=1，OC=3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，3），
∵拋物線的對稱軸是直線x=1，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)是（3，0）；
故答案為：（-1，0），（0，3），（3，0）；

（2）設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a（x+1）（x-3），
將（0，3）代入得：-3a=3，
解得：a=-1，
∴y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3=-（x-1）²+4；
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是（1，4）；
故答案為：y=-x²+2x+3，（1，4）；

（3）∵直線y=kx（0＜k＜2）與拋物線y=ax²+bx+c相交于兩點(diǎn)D、E，
設(shè)D的坐標(biāo)為（x₁，y₁），E的坐標(biāo)為（x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
∴x²+（k-2）x-3=0，
∵P是線段DE的中點(diǎn)，
∴P的橫坐標(biāo)為：$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{k-2}{2}$=$\frac{2-k}{2}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（$\frac{2-k}{2}$，$\frac{k（2-k）}{2}$），
如圖1，過點(diǎn)M作MF⊥x軸于點(diǎn)F，
∴S_{四邊形PCMB}=S_梯形OCMF+S_△BMF-S_△OBP-S_△OCP=$\frac{1}{2}$×1×（3+4）+$\frac{1}{2}$×2×4-$\frac{1}{2}$×3×$\frac{2-k}{2}$-$\frac{1}{2}$×3×$\frac{k（2-k）}{2}$=$\frac{3}{4}$（k-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{93}{16}$；
∴當(dāng)k=$\frac{1}{2}$時(shí)，四邊形PCMB的面積最小，最小值是$\frac{93}{16}$；

（4）如圖2，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（x，-x²+2x+3），
連接AM，過點(diǎn)Q作QG⊥x軸，交直線AM于點(diǎn)G，
∵S_{五邊形AOEMQ}=S_{四邊形AOEM}+S_△AMQ，且S_{四邊形AOEM}是定值，
∴當(dāng)△AMQ的面積最大時(shí)，五邊形AOEMQ的面積最大；
設(shè)直線AM的解析式為：y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=0}\\{m+n=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴直線AM的解析式為：y=2x+2，
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為：（x，2x+2），
∴S_△AMQ=$\frac{1}{2}$×2×QG=QG=（-x²+2x+3）-（2x+2）=-x²+1，
∴當(dāng)x=0時(shí)，△AMQ的面積最大，即五邊形AOEMQ的面積最大，
此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，3）．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)求二次函數(shù)解析式，一元二次方程的解法，二次函數(shù)的對稱性，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題以及最值問題．注意掌握面積的割補(bǔ)求解方法是解此題的關(guān)鍵．