Question

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2

2

的⊙O′與y軸交于A、B兩點(diǎn)，與直線OC相切于點(diǎn)C，∠BOC=45°，BC⊥OC，垂足為C．
（1）判斷△ABC的形狀；
（2）在

BC

上取一點(diǎn)D，連接DA、DB、DC，DA交BC于點(diǎn)E．求證：BD•CD=AD•ED；
（3）延長BC交x軸于點(diǎn)G，求經(jīng)過O、C、G三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析：（1）由于OC是圓的切線，而BC⊥OC，那么BC必過圓心，也就是說BC為圓O′的直徑，那么∠CAB=90°，即三角形BAC是直角三角形，又由∠BOC=45°，那么∠CBO=45°，因此三角形BAC是等腰直角三角形．
（2）本題其實(shí)證的是三角形ADC和BDE相似，這兩個(gè)三角形中，根據(jù)圓周角定理可得出∠CAD=∠DBE，根據(jù)（1）的結(jié)論又能得出弧AC=弧AB，那么可得出∠ADC=∠BDE，由此可得出兩三角形相似，也就能得出本題要證得結(jié)論．
（3）已知了半徑的長，就能求出CA，OA的長，也就知道了C的坐標(biāo)，知道OA，CA，AB的長也就能求出OB的長，又因?yàn)槿�角形OGB也是個(gè)等腰直角三角形因此OG=OB，可得出G的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可得出過O，C，G的二次函數(shù)的解析式．

解答：（1）解：∵OC與⊙O'相切
∴O'C⊥OC
又∵BC⊥OC
∴O'在BC上，即BC為⊙O'的直徑
∴∠CAB=90°
∴CA⊥BA
∵∠BOC=45°
∴△BOC為等腰直角三角形
∴A為OB的中點(diǎn)，CD=

1

2

OB=AB
∴△ABC是等腰直角三角形．

（2）證明：∵AC=AB
∴

AC

=

AB

．
∴∠ADC=∠ADB
又∵∠CAD=∠CBD
∴△ADC∽△BDE
∴

AD

BD

=

DC

DE

，
即BD•CD=AD•ED．

（3）解：在Rt△BOC中
∵⊙O′的半徑為2

2

∴BC=4

2

∵∠BOC=45°
∴OB=

2

•BC=8，CA=OA=AB=

1

2

OB=4
∵CA∥x軸，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，-4）
∴BC=CG
∴AC為△BGO的中位線
∴OG=2AC=8
∴G點(diǎn)坐標(biāo)為（-8，0）
設(shè)過O、C、G三點(diǎn)的二次函數(shù)為y=ax²+bx+c，
由已知，函數(shù)圖象過（0，0），（-4，-4），（-8，0）三點(diǎn)，得

c=0 16a-4b=-4 64a-8b=0

解這個(gè)方程組，得
a=

1

4

，b=2，c=0
因此，所求二次函數(shù)是y=

1

4

x²+2x．

點(diǎn)評：本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識(shí)．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出相關(guān)的線段相等是解題的關(guān)鍵．